Test z Planimetria: trójkąt i okrąg

Pytanie 1: Suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta musi być większa niż długość trzeciego boku.

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Zgodnie z zasadą nierówności trójkąta, suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta musi być zawsze większa niż długość trzeciego boku. Jest to fundamentalna zasada definiująca możliwość istnienia trójkąta.

Pytanie 2: Który z poniższych wzorów poprawnie opisuje promień okręgu wpisanego w trójkąt (r), gdzie P to pole trójkąta, a s to półobwód trójkąta?

A. r = s / P

B. r = P / s

C. r = (a + b + c) / 2

D. R = (a · b · c) / (4 · P)

Wyjaśnienie: Zgodnie z materiałami, wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt (r) to P / s, gdzie P to pole trójkąta, a s to jego półobwód. Opcja 'r = (a + b + c) / 2' to wzór na półobwód (s), a 'R = (a · b · c) / (4 · P)' to wzór na promień okręgu opisanego (R).

Pytanie 3: Czy kąt między styczną a cięciwą, poprowadzoną z punktu styczności, jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku wyznaczonym przez tę cięciwę?

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Zgodnie z twierdzeniem o kącie między styczną a cięciwą, kąt między styczną a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku wyznaczonym przez tę cięciwę.

Pytanie 4: Jeśli odległość między środkami dwóch okręgów jest mniejsza niż suma ich promieni (d < r₁ + r₂), to okręgi te są styczne zewnętrznie.

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Zgodnie z materiałem, okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość między ich środkami jest równa sumie ich promieni (d = r₁ + r₂). Jeśli odległość między środkami jest mniejsza niż suma ich promieni (d < r₁ + r₂), okręgi mogą być przecinające się lub rozłączne wewnętrznie, ale nie styczne zewnętrznie.

Pytanie 5: Które zdanie dotyczące okręgu wpisanego w trójkąt jest prawdziwe?

A. Środek okręgu wpisanego jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków trójkąta.

B. Okrąg wpisany przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta.

C. Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

D. Dla trójkąta rozwartokątnego środek okręgu wpisanego leży poza trójkątem.

Wyjaśnienie: Zgodnie z materiałem, środek okręgu wpisanego (I) jest punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Jest on równo oddalony od wszystkich boków trójkąta, a nie od wierzchołków. Okrąg wpisany jest styczny do boków, a nie przechodzi przez wierzchołki. Środek okręgu wpisanego zawsze leży wewnątrz trójkąta, niezależnie od jego typu (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny).