Test z Iloczyn skalarny i kąt między wektorami

Pytanie 1: Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów prostopadłych jest równy zero.

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Dwa niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy kąt między nimi wynosi 90°. Ponieważ cos(90°) = 0, z geometrycznej definicji iloczynu skalarnego (a · b = |a| · |b| · cos φ) wynika, że iloczyn skalarny takich wektorów będzie równy zero.

Pytanie 2: Które stwierdzenia prawidłowo opisują geometryczną definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów **a** i **b**?

A. Iloczyn skalarny jest iloczynem długości wektorów i cosinusa kąta między nimi.

B. Iloczyn skalarny jest dodatni, gdy kąt między wektorami wynosi 90°.

C. Wartość iloczynu skalarnego jest zawsze wektorem.

D. Kąt φ między wektorami **a** i **b** zawsze przyjmuje wartości z przedziału [0, π] radianów.

Wyjaśnienie: Zgodnie z definicją geometryczną, iloczyn skalarny dwóch wektorów **a** i **b** wynosi **a** · **b** = |**a**| · |**b**| · cos φ. Oznacza to, że jest iloczynem długości wektorów i cosinusa kąta między nimi, co potwierdza opcję 0. Kąt φ między wektorami zawsze przyjmuje wartości z przedziału [0, π] radianów, czyli [0°, 180°], co potwierdza opcję 3. Iloczyn skalarny przyporządkowuje liczbę skalarną, a nie nowy wektor, zatem opcja 2 jest nieprawidłowa. Iloczyn skalarny jest równy zero, gdy kąt φ jest prosty (90°), a nie dodatni, co sprawia, że opcja 1 jest nieprawidłowa.

Pytanie 3: Wektor rzutu wektora **a** na wektor **b** jest wyrażany jako iloczyn skalarny wektorów **a** i **b**, podzielony przez kwadrat długości wektora **b**, a następnie pomnożony przez wektor **b**.

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Zgodnie z materiałami, wzór na wektor rzutu proj_**b** **a** to: ((**a** · **b**) / |**b**|²) · **b**. Oznacza to, że wektor rzutu jest iloczynem skalarnym wektorów **a** i **b**, podzielonym przez kwadrat długości wektora **b**, a następnie pomnożonym przez wektor **b**.

Pytanie 4: Iloczyn skalarny wektorów **a** = [2, -1, 3] i **b** = [4, 2, -2] wynosi 8.

A. Tak

B. Nie

Wyjaśnienie: Zgodnie z przykładem obliczeniowym, iloczyn skalarny wektorów **a** = [2, -1, 3] i **b** = [4, 2, -2] oblicza się jako (2 · 4) + (-1 · 2) + (3 · -2) = 8 - 2 - 6 = 0. Zatem iloczyn skalarny wynosi 0, a nie 8.

Pytanie 5: Które zdanie najlepiej opisuje definicję rzutu wektora **a** na wektor **b** (proj_**b** **a**) zgodnie z przedstawionymi materiałami?

A. Jest to skalar reprezentujący długość składowej wektora **a** w kierunku wektora **b**.

B. Jest to wektor prostopadły do **b**, którego długość jest równa długości wektora **a**.

C. Jest to wektor równoległy do **b**, którego długość jest równa długości składowej wektora **a** w kierunku wektora **b**.

D. Jest to wektor, którego iloczyn skalarny z wektorem **b** jest zawsze równy zero.

Wyjaśnienie: Zgodnie z materiałami studyjnymi, 'Rzut wektora **a** na wektor **b** (oznaczany jako proj_**b** **a**) to wektor, który jest równoległy do **b** i którego długość jest równa długości składowej wektora **a** w kierunku wektora **b**'.