Test on Vegyes szorzat és a paralelepipedon térfogata

Question 1: A vegyes szorzat értéke minden esetben megegyezik az általa kifeszített paralelepipedon térfogatával.

A. Yes

B. No

Explanation: A tanulmányi anyag szerint a vegyes szorzat abszolút értéke adja meg a paralelepipedon térfogatát. A vegyes szorzat önmagában lehet negatív is, míg a térfogat mindig pozitív.

Question 2: A mellékelt tananyag alapján, mi történik a vegyes szorzat értékével, ha annak két vektorát felcseréljük?

A. Az értéke nem változik.

B. Az abszolút értéke marad, de az előjele ellentétesre változik.

C. A vegyes szorzat értéke nullára csökken.

D. A vegyes szorzat értéke megkétszereződik.

Explanation: A tanulmányi anyag „A vegyes szorzat tulajdonságai” című részének 2. pontja („Előjelváltás”) világosan kimondja, hogy „Két vektor felcserélése megváltoztatja a vegyes szorzat előjelét”. Példaként megadja: (a × b) · c = - (b × a) · c. Ez azt jelenti, hogy az abszolút érték ugyanaz marad, de az előjel ellentétesre változik.

Question 3: Az origóból kiinduló a, b és c helyvektorok által meghatározott tetraéder térfogata megegyezik a vektorok vegyes szorzatának abszolút értékével.

A. Yes

B. No

Explanation: A tanulmányi anyag szerint az origóból kiinduló a, b és c helyvektorok által meghatározott tetraéder térfogata a paralelepipedon térfogatának egyhatoda, azaz V_tetraéder = |(a × b) · c| / 6. A vegyes szorzat abszolút értéke (| (a × b) · c |) a paralelepipedon térfogatát adja meg, nem a tetraéderét.

Question 4: A megadott példában a = (2, 1, 0), b = (1, 3, 2) és c = (0, -1, 4) vektorok komplanárisak, ha a vegyes szorzatuk abszolút értéke nulla.

A. Yes

B. No

Explanation: A tanulmányi anyag kimondja, hogy három vektor akkor és csak akkor komplanáris, ha az általuk kifeszített paralelepipedon térfogata nulla. Ez azt jelenti, hogy (a × b) · c = 0. A kérdés állítása szerint a vektorok komplanárisak, ha a vegyes szorzatuk abszolút értéke nulla, ami pontosan megegyezik a komplanaritás definíciójával. Bár az adott példában a vegyes szorzat nem nulla, a definíció helyes.

Question 5: Adott az a = (2, 1, 0), b = (1, 3, 2) és c = (0, -1, 4) vektorhármas. Mennyi a vegyes szorzatuk, azaz (a × b) · c értéke?

A. -24

B. 0

C. 24

D. 12

Explanation: A vegyes szorzatot két lépésben számítjuk ki. Először az a és b vektorok vektoriális szorzatát (a × b) végezzük el: a × b = ((1)(2) - (0)(3), (0)(1) - (2)(2), (2)(3) - (1)(1)) = (2 - 0, 0 - 4, 6 - 1) = (2, -4, 5). Majd az eredményvektor és a c vektor skaláris szorzatát számítjuk ki: (a × b) · c = (2)(0) + (-4)(-1) + (5)(4) = 0 + 4 + 20 = 24. Alternatív megoldásként a determináns számítással is megkapjuk ugyanezt az értéket: det(a, b, c) = 2 · ((3)(4) - (2)(-1)) - 1 · ((1)(4) - (2)(0)) + 0 · ((1)(-1) - (3)(0)) = 2 · (12 - (-2)) - 1 · (4 - 0) = 2 · 14 - 1 · 4 = 28 - 4 = 24.