Resumen de Torsión en Mecánica de Materiales
Torsión en Mecánica de Materiales: Guía Completa para Estudiantes
Introducción
La torsión y los ejes cilíndricos son fundamentales en el diseño de máquinas y transmisión de potencia. En este material aprenderás a relacionar pares torsores con ángulos de giro y esfuerzos cortantes en ejes sólidos y huecos, considerando propiedades del material como el módulo de rigidez $G$. Se incluyen ejemplos prácticos basados en problemas típicos de curso.
Definición: La torsión es la acción de aplicar un par o momento torsor sobre un eje, produciendo esfuerzos cortantes y un ángulo de giro a lo largo del eje.
Conceptos básicos desglosados
1. Par torsor y su efecto
- Un par torsor $T$ aplicado a un eje provoca un esfuerzo cortante distribuido a lo largo de la sección transversal y genera un ángulo de giro relativo entre dos secciones.
- Para un eje circular sólido y homogéneo, el esfuerzo cortante máximo es en la superficie y viene dado por la relación con el momento torsor.
Definición: Par torsor $T$ es la tendencia de una fuerza o conjunto de fuerzas a producir rotación alrededor del eje longitudinal.
2. Propiedad del material: módulo de rigidez $G$
- $G$ relaciona el esfuerzo cortante con la deformación angular por torsión. Específicamente, el ángulo de giro dependen de $G$, la geometría del eje y la magnitud del par aplicado.
Definición: Módulo de rigidez $G$ es la constante de proporcionalidad entre esfuerzo cortante y deformación angular en la ley de Hooke para cortante.
3. Geometría de la sección
- Eje sólido de diámetro $d$: momento polar de inercia (rigidez a la torsión) $$J = \frac{\pi d^{4}}{32}$$
- Eje hueco con diámetro exterior $d_{o}$ e interior $d_{i}$: $$J = \frac{\pi \left(d_{o}^{4} - d_{i}^{4}\right)}{32}$$
4. Ángulo de giro para un segmento uniforme
- Para un segmento de eje de longitud $L$, módulo $G$, momento torsor $T$ y polar $J$, el ángulo de giro relativo es: $$\theta = \frac{T L}{G J}$$
- Si el eje tiene segmentos en serie, los ángulos se suman: $$\theta_{total} = \sum \frac{T_{i} L_{i}}{G_{i} J_{i}}$$
5. Esfuerzo cortante máximo por torsión
- Para un eje circular sólido o hueco, el esfuerzo cortante máximo en la superficie es: $$\tau_{max} = \frac{T c}{J}$$ donde $c$ es el radio exterior ($c = d/2$ ó $c = d_{o}/2$).
6. Ejes en serie y en paralelo (breve recordatorio)
- Serie: mismo par $T$ atraviesa todos los segmentos; ángulos se suman.
- Paralelo (ramas): cada rama transmite un par diferente; las deformaciones pueden ser compatibles dependiendo de condiciones de soporte y uniones.
Tablas comparativas
| Característica | Eje sólido | Eje hueco |
|---|---|---|
| Fórmula de $J$ | $J = \frac{\pi d^{4}}{32}$ | $J = \frac{\pi (d_{o}^{4} - d_{i}^{4})}{32}$ |
| Mayor rigidez torsional (para igual peso) | No siempre | A menudo sí (mejor relación rigidez/peso) |
| Esfuerzo en la superficie | $\tau_{max} = \dfrac{T d/2}{J}$ | $\tau_{max} = \dfrac{T d_{o}/2}{J}$ |
Procedimiento paso a paso para resolver problemas tipo
- Dibujar el árbol de momento torsor y anotar pares en cada sección.
- Identificar materiales y obtener $G$ de cada tramo.
- Calcular $J$ para cada sección según su geometría.
- Determinar $T$ que actúa en cada segmento (serie o distribución por engranajes o poleas).
- Calcular ángulos parciales: $\theta_{i} = \dfrac{T_{i} L_{i}}{G_{i} J_{i}}$ y sumar donde corresponda.
- Calcular esfuerzos máximos: $\tau_{max,i} = \dfrac{T_{i} c_{i}}{J_{i}}$ y comparar con límites permisibles.
- Si se requiere diseño de diámetro por esfuerzo, despejar $d$ de la ecuación de $\tau_{max}$.
Ejemplos prácticos (resumen y orientación de resolución)
A continuación se presentan orientaciones para los ejercicios proporcionados. No se desarrollan cálculos numéricos completos, pero sí los pasos y fórmulas para resolver cada caso.
Ejemplo: Varilla unida Aluminio-Latón (Ejercicio 5)
- Datos: $G_{Al}=27\ \text{GPa}$, $G_{Br}=39\ \text{GPa}$, la porción CD del latón es hueca con $d_{i}=40\ \text{mm}$.
- Pasos:
- Determinar momentos
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Torsión y ejes cilíndricos
Klíčové pojmy: Ángulo de giro: $\theta=TL/(GJ)$, Momento polar $J$ sólido: $J=\pi d^{4}/32$, Momento polar hueco: $J=\pi(d_{o}^{4}-d_{i}^{4})/32$, Esfuerzo máximo: $\tau_{max}=Tc/J$, Para ejes en serie, $\theta_{total}=\sum TL/(GJ)$, Despejar diámetro sólido: $d=\left(16T/(\pi\tau)\right)^{1/3}$, Ejes huecos tienen mejor relación rigidez/peso, Calcular pares internos por equilibrio antes de usar fórmulas, Usar $G$ correcto por material en cada tramo, Verificar esfuerzo permisible y fatiga cuando aplique
## Introducción
La torsión y los ejes cilíndricos son fundamentales en el diseño de máquinas y transmisión de potencia. En este material aprenderás a relacionar pares torsores con ángulos de giro y esfuerzos cortantes en ejes sólidos y huecos, considerando propiedades del material como el módulo de rigidez $G$. Se incluyen ejemplos prácticos basados en problemas típicos de curso.
> Definición: La torsión es la acción de aplicar un par o momento torsor sobre un eje, produciendo esfuerzos cortantes y un ángulo de giro a lo largo del eje.
## Conceptos básicos desglosados
### 1. Par torsor y su efecto
- Un par torsor $T$ aplicado a un eje provoca un esfuerzo cortante distribuido a lo largo de la sección transversal y genera un ángulo de giro relativo entre dos secciones.
- Para un eje circular sólido y homogéneo, el esfuerzo cortante máximo es en la superficie y viene dado por la relación con el momento torsor.
> Definición: Par torsor $T$ es la tendencia de una fuerza o conjunto de fuerzas a producir rotación alrededor del eje longitudinal.
### 2. Propiedad del material: módulo de rigidez $G$
- $G$ relaciona el esfuerzo cortante con la deformación angular por torsión. Específicamente, el ángulo de giro dependen de $G$, la geometría del eje y la magnitud del par aplicado.
> Definición: Módulo de rigidez $G$ es la constante de proporcionalidad entre esfuerzo cortante y deformación angular en la ley de Hooke para cortante.
### 3. Geometría de la sección
- Eje sólido de diámetro $d$: momento polar de inercia (rigidez a la torsión) $$J = \frac{\pi d^{4}}{32}$$
- Eje hueco con diámetro exterior $d_{o}$ e interior $d_{i}$: $$J = \frac{\pi \left(d_{o}^{4} - d_{i}^{4}\right)}{32}$$
### 4. Ángulo de giro para un segmento uniforme
- Para un segmento de eje de longitud $L$, módulo $G$, momento torsor $T$ y polar $J$, el ángulo de giro relativo es:
$$\theta = \frac{T L}{G J}$$
- Si el eje tiene segmentos en serie, los ángulos se suman: $$\theta_{total} = \sum \frac{T_{i} L_{i}}{G_{i} J_{i}}$$
### 5. Esfuerzo cortante máximo por torsión
- Para un eje circular sólido o hueco, el esfuerzo cortante máximo en la superficie es:
$$\tau_{max} = \frac{T c}{J}$$
donde $c$ es el radio exterior ($c = d/2$ ó $c = d_{o}/2$).
### 6. Ejes en serie y en paralelo (breve recordatorio)
- Serie: mismo par $T$ atraviesa todos los segmentos; ángulos se suman.
- Paralelo (ramas): cada rama transmite un par diferente; las deformaciones pueden ser compatibles dependiendo de condiciones de soporte y uniones.
## Tablas comparativas
| Característica | Eje sólido | Eje hueco |
|---|---:|---:|
| Fórmula de $J$ | $J = \frac{\pi d^{4}}{32}$ | $J = \frac{\pi (d_{o}^{4} - d_{i}^{4})}{32}$ |
| Mayor rigidez torsional (para igual peso) | No siempre | A menudo sí (mejor relación rigidez/peso) |
| Esfuerzo en la superficie | $\tau_{max} = \dfrac{T d/2}{J}$ | $\tau_{max} = \dfrac{T d_{o}/2}{J}$ |
## Procedimiento paso a paso para resolver problemas tipo
1. Dibujar el árbol de momento torsor y anotar pares en cada sección.
2. Identificar materiales y obtener $G$ de cada tramo.
3. Calcular $J$ para cada sección según su geometría.
4. Determinar $T$ que actúa en cada segmento (serie o distribución por engranajes o poleas).
5. Calcular ángulos parciales: $\theta_{i} = \dfrac{T_{i} L_{i}}{G_{i} J_{i}}$ y sumar donde corresponda.
6. Calcular esfuerzos máximos: $\tau_{max,i} = \dfrac{T_{i} c_{i}}{J_{i}}$ y comparar con límites permisibles.
7. Si se requiere diseño de diámetro por esfuerzo, despejar $d$ de la ecuación de $\tau_{max}$.
## Ejemplos prácticos (resumen y orientación de resolución)
A continuación se presentan orientaciones para los ejercicios proporcionados. No se desarrollan cálculos numéricos completos, pero sí los pasos y fórmulas para resolver cada caso.
### Ejemplo: Varilla unida Aluminio-Latón (Ejercicio 5)
- Datos: $G_{Al}=27\ \text{GPa}$, $G_{Br}=39\ \text{GPa}$, la porción CD del latón es hueca con $d_{i}=40\ \text{mm}$.
- Pasos:
1. Determinar momentos