Resumen de Teoría Institucional y Panoptismo de Foucault

## Introducción Las **secuencias numéricas** son listas ordenadas de números que siguen una regla o patrón. En matemáticas y aplicaciones científicas, estudiar secuencias permite comprender comportamiento límite, crecimiento, periodicidad y modelar procesos discretos. > Definición: Una secuencia numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ y que asigna a cada $n\in\mathbb{N}$ un término $a_n$. ## Tipos básicos de secuencias ### Secuencia explícita - Se define mediante una fórmula que da el término $n$-ésimo directamente: $a_n = f(n)$. - Ejemplo: $a_n = 2n + 1$ produce la sucesión $1$, $3$, $5$, $7$, ... ### Secuencia recursiva - Cada término se define a partir de términos anteriores: $a_{n} = g(a_{n-1},a_{n-2},\dots,n)$ junto con condiciones iniciales. - Ejemplo: la sucesión de Fibonacci: $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ para $n\ge 3$. > Definición: Una secuencia es **convergente** si existe $L\in\mathbb{R}$ tal que $\lim_{n\to\infty} a_n = L$. Si no existe tal $L$, la secuencia es **divergente**. ## Propiedades importantes ### Monotonía - **Monótona creciente**: $a_{n+1} \ge a_n$ para todo $n$. - **Monótona decreciente**: $a_{n+1} \le a_n$ para todo $n$. - Monotonía ayuda a probar convergencia cuando la secuencia está acotada. ### Acotación - **Acotada superiormente**: existe $M$ tal que $a_n \le M$ para todo $n$. - **Acotada inferiormente**: existe $m$ tal que $a_n \ge m$ para todo $n$. - **Acotada**: si cumple ambas condiciones. ### Convergencia y límites - Si una secuencia es monótona y acotada, entonces converge (teorema de la convergencia monotónica). - Límites comunes: - Constante: si $a_n = c$ entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = c$. - Polinomios en $n$: si $a_n = n^k$ entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$ para $k>0$. - Secuencias de tipo geométrico: si $a_n = r^n$ con $|r|<1$ entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$; si $|r|>1$ diverge. $$\text{Si }a_n = r^n\text{ entonces}\quad \lim_{n\to\infty} a_n =\begin{cases}0,& |r|<1,\\ 1,& r=1,\\ \pm\infty,& |r|>1\end{cases}$$ ### Sucesiones y series - Una **serie** es la suma de términos de una secuencia: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. - Convergencia de una serie requiere que $a_n \to 0$; esto no es suficiente por sí solo. ## Técnicas comunes para estudiar secuencias 1. Encontrar fórmula explícita a partir de recursión (cuando sea posible). 2. Usar estimaciones / desigualdades para probar acotación. 3. Aplicar criterios de convergencia (monotonía + acotación, comparación, razón, raíz para series relacionadas). 4. Examinar comportamiento asintótico: hallar $\limsup$ y $\liminf$ si es necesario. ### Ejemplo 1: Secuencia aritmética - Definición: $a_n = a_1 + (n-1)d$. - Propiedades: diferencia constante $d$ entre términos sucesivos. - Ejemplo: $a_n = 5 + (n-1)2 = 2n + 3$. ### Ejemplo 2: Secuencia geométrica - Definición: $a_n = a_1 r^{n-1}$. - Propiedades: razón constante $r$. - Ejemplo: $a_n = 3\cdot (\tfrac{1}{2})^{n-1}$ converge a $0$ ya que $|r|=\tfrac{1}{2}<1$. ### Ejemplo 3: Secuencia definida por recursión lineal - Considere $a_{n+1} = 0.5\,a_n + 1$ con $a_1 = 2$. - Buscar punto fijo $L$ tal que $L = 0.5\,L + 1$; resolviendo: $$L = 0.5\,L + 1$$ Restando $0.5\,L$: $$0.5\,L = 1$$ $$L = 2$$ - Comprobación: la secuencia converge a $2$ si está acotada y es contractiva en sentido práctico. ## Tabla comparativa: tipos y comportamiento | Tipo | Fórmula típica | Convergencia típica | Ejemplo | |---|---:|---|---| | Aritmética | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | Diverge si $d\ne 0$ | $2n+3$ | | Geométrica | $a_n = a_1 r^{n-1}$ | Converge si $|r|<1$ | $3(\tfrac{1}{2})^{n-1}$ | | Recursiva | $a_{n} = g(\dots)$ | Depende de $g$ | Fibonacci | ## Aplicaciones reales - Modelado de poblaciones en generaciones discretas usando secuencias recursivas. - Finanzas: cálculo de pagos y amortizaciones con secuencias geométricas. - Informática: análisis de algoritmos que producen secuencias de costos o tamaños. - Física: iteracion