Resumen de Teorema de Euclides, Homotecia y Números Racionales

## Introducción La geometría que estudiamos aquí se centra en dos herramientas fundamentales para resolver problemas con triángulos rectángulos y figuras semejantes: el **Teorema de Euclides** (relaciona la altura sobre la hipotenusa con los segmentos que ésta queda dividida) y la **homotecía** (transformación que amplía o reduce figuras respecto a un centro). Aprenderás las fórmulas clave, ejemplos resueltos paso a paso y ejercicios típicos. > **Definición:** En un triángulo rectángulo, la **altura a la hipotenusa** es la perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa; esta altura divide la hipotenusa en dos segmentos llamados $p$ y $q$. ## 1. Teorema de Euclides (básico) ### Conceptos clave - En un triángulo rectángulo con catetos $a$, $b$, hipotenusa $c$, altura a la hipotenusa $h$ y segmentos de la hipotenusa $p$ y $q$ (con $p+q=c$): > **Relaciones fundamentales (Teorema de Euclides):** $$a^2 = c\,p$$ $$b^2 = c\,q$$ $$h^2 = p\,q$$ $$h = \frac{ab}{c}$$ - Estas fórmulas permiten hallar cualquier elemento si conoces dos o más de los demás. ### Desglose de relaciones (qué usan y cuándo) - Si conoces $a$ y $c$, usa $$p = \frac{a^2}{c}$$ - Si conoces $b$ y $c$, usa $$q = \frac{b^2}{c}$$ - Si conoces $p$ y $q$, usa $$c = p+q$$ y $$h = \sqrt{p\,q}$$ - Si conoces $a$ y $b$, usa el teorema de Pitágoras $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ y luego las otras relaciones. > **Definición:** El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo $a^2 + b^2 = c^2$. ### Ejemplo resuelto 1 (paso a paso) Datos: $a=15$, $b=20$, $c=25$. 1) Verificar Pitágoras: $$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$$ correcto. 2) Hallar $p$ usando $$p = \frac{a^2}{c}$$ $$p = \frac{15^2}{25} = \frac{225}{25} = 9$$ 3) Hallar $q$ con $q=c-p$: $$q = 25 - 9 = 16$$ 4) Hallar $h$ usando $$h = \sqrt{p\,q}$$ $$h = \sqrt{9\cdot 16} = \sqrt{144} = 12$$ Resultado: $h=12$, $p=9$, $q=16$. ### Ejemplo resuelto 2 (uso mixto) Datos: $c=26$, $p=10$. 1) $q = c - p$ no sirve directo porque $c$ dado; usar $$q = c - p = 26 - 10 = 16$$ 2) Hallar $a$ con $$a^2 = c\,p$$ $$a = \sqrt{26\cdot 10} = \sqrt{260}$$ (si se requiere simplificar, $$\sqrt{260}=2\sqrt{65}$$) 3) Hallar $b$ con $$b^2 = c\,q$$ $$b = \sqrt{26\cdot 16} = \sqrt{416} = 4\sqrt{26}$$ 4) Hallar $h$ con $$h = \sqrt{p\,q} = \sqrt{10\cdot 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$$ ### Problemas típicos y estrategias - Si te dan $p$ y $q$: calcula $c=p+q$ y $h=\sqrt{p\,q}$. - Si te dan $h$ y $c$: usa $$p\,q = h^2$$ y $$p+q=c$$ y resuelve el sistema (tratar $p$ como variable y obtener ecuación cuadrática). - Si te dan un cateto y $c$: aplica $p=\frac{a^2}{c}$ o $q=\frac{b^2}{c}$. ### Tabla comparativa: elección de fórmula según datos | Datos conocidos | Fórmulas útiles | |-----------------|-----------------| | $a$, $c$ | $p=\frac{a^2}{c}$, $q=c-p$, $h=\frac{ab}{c}$ | | $b$, $c$ | $q=\frac{b^2}{c}$, $p=c-q$, $h=\frac{ab}{c}$ | | $p$, $q$ | $c=p+q$, $h=\sqrt{p\,q}$ | | $h$, $c$ | $p+q=c$, $p\,q=h^2$ (resolver cuadrática) | Fun fact: En la antigua Grecia, Euclides no sólo organizó hechos geométricos sino que las relaciones entre altura y segmentos de la hipotenusa ya se conocían y se usaban para resolver problemas de construcción geométrica. --- ## 2. Homotecía ### Concepto esencial > **Definición:** Una homotecía con centro $O$ y razón $k$ transforma cada punto $X$ en un punto $X'$ tal que $\overrightarrow{OX'} = k\,\overrightarrow{OX}$. Si $k>1$ es una ampliación; si $0<k<1$ es una reducción; si $k<0$ hay inversión junto con cambio de tamaño. ### Propiedades útiles - Las longitudes desde el centro cambian por factor $k$: $$OX' = k\,OX$$ - Lados correspondientes de figuras semejantes se relacionan por $k$: si $XY$ corresponde a $X'Y'$ entonces $$X'Y' = k\,XY$$ - Los ángulos se conservan (son iguales entre figura y su homotético). ### Ejemplos resueltos 1) Triángulo $ABC$ con $k=3$, $OA=2$, $OB=5$, $OC=4$. Entonces $$OA'=3\cdot 2=6$$ $$OB'=3\cdot 5=15$$ $$OC'=3\cdot 4=12$$ 2) Triángu