Test sobre Tangente a una gráfica y el significado geométrico de la derivada

Pregunta 1: El ejemplo resuelto sobre el cálculo de la ecuación de la tangente para f(x) = x² + 2x - 3 en x₀ = 1 muestra la ecuación final de la recta tangente.

A. Sí

B. No

Explicación: Los materiales de estudio presentan la función f(x) = x² + 2x - 3 y el punto x₀ = 1 para un ejemplo resuelto, pero el ejemplo en sí no muestra la derivada de la función ni la ecuación final de la recta tangente; solo introduce el problema.

Pregunta 2: ¿Cuál de las siguientes expresiones representa correctamente la fórmula para la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f(x) en un punto (x₀, f(x₀))?

A. y - y₁ = m ⋅ (x - x₁)

B. y - f(x₀) = f′(x₀) ⋅ (x - x₀)

C. y = mx + b

D. f′(x₀) = lím (Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Explicación: La sección 'Ecuación de la Recta Tangente' establece que la fórmula para la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (x₀, f(x₀)) es y − f(x₀) = f′(x₀) ⋅ (x − x₀). Esta es la aplicación de la forma punto-pendiente (y - y₁ = m ⋅ (x - x₁)) donde el punto es (x₀, f(x₀)) y la pendiente m es f′(x₀).

Pregunta 3: La gráfica de la derivada f'(x) muestra cómo cambia la pendiente de la función original f(x) en cada punto.

A. Sí

B. No

Explicación: La gráfica de la derivada, f′(x), es una función por sí misma que nos proporciona una representación visual de cómo cambia la pendiente de la función original f(x) en cada punto. Cada valor en la gráfica de f′(x) corresponde a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el mismo valor de x.

Pregunta 4: Para calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico, es necesario sustituir la coordenada y del punto de tangencia en la derivada de la función.

A. Sí

B. No

Explicación: Según el Paso 3, la pendiente de la recta tangente se calcula sustituyendo la coordenada x (x₀) del punto de tangencia en la derivada de la función (f′(x₀)), no la coordenada y.

Pregunta 5: ¿Qué se puede afirmar sobre una función f(x) en un punto donde su derivada f′(x) es igual a cero?

A. La función es creciente en ese punto.

B. La función tiene un punto crítico en ese punto.

C. La pendiente de la recta tangente es horizontal en ese punto.

D. La función es decreciente en ese punto.

Explicación: Cuando la derivada f′(x) es igual a cero en un punto, la pendiente de la recta tangente en ese punto es cero, lo que significa que la recta tangente es horizontal. Estos puntos donde la derivada es cero son conocidos como puntos críticos. En estos puntos, la función no está ni creciendo ni decreciendo instantáneamente; pueden ser máximos locales, mínimos locales o puntos de inflexión horizontales.