Resumen de Suma y Resta de Fracciones

## Introducción La **suma de fracciones** reúne fracciones con objeto de obtener otra fracción que represente la cantidad total. En este material aprenderás a sumar fracciones con el mismo denominador y con denominadores distintos, con ejemplos paso a paso y aplicaciones prácticas. > **Definición:** Una fracción representa una parte de un todo y se escribe como $\frac{a}{b}$, donde $a$ es el numerador y $b$ el denominador, con $b\neq 0$. ## 1. Conceptos básicos - **Numerador:** la cantidad de partes consideradas, $a$ en $\frac{a}{b}$. - **Denominador:** el número de partes iguales que forman el todo, $b$ en $\frac{a}{b}$. - **Fracciones equivalentes:** fracciones que representan la misma cantidad, por ejemplo $\frac{1}{2}$ y $\frac{2}{4}$. > **Definición:** Dos fracciones son equivalentes si al simplificarlas o ampliarlas se obtienen ambas con el mismo valor numérico. ## 2. Suma de fracciones con igual denominador ### Regla Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, la suma algebraica es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores. > **Regla:** Si $\frac{a}{d}$ y $\frac{b}{d}$ tienen el mismo denominador $d$, entonces $$\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=\frac{a+b}{d}.$$ ### Ejemplo paso a paso - Calcular: $\frac{5}{6}+\frac{3}{6}-\frac{9}{6}$ Paso 1: Mantener el denominador común $6$. Paso 2: Sumar algebraicamente los numeradores: $5+3-9= -1$. Resultado: $$\frac{5}{6}+\frac{3}{6}-\frac{9}{6}=\frac{5+3-9}{6}=\frac{-1}{6}=-\frac{1}{6}.$$ ### Aplicaciones prácticas - Sumar porciones de recetas cuando varias cantidades tienen el mismo denominador, por ejemplo $\frac{1}{4}$ de taza + $\frac{2}{4}$ de taza. ## 3. Suma de fracciones con distinto denominador ### Idea principal Cuando los denominadores son distintos, conviene convertir las fracciones a un denominador común, preferiblemente el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, y luego sumar los numeradores ajustados. > **Definición:** El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos. ### Procedimiento paso a paso 1. Calcular el mcm de los denominadores. 2. Para cada fracción, dividir el mcm por su denominador y multiplicar ese cociente por su numerador; ese resultado es el numerador equivalente. 3. Sumar algebraicamente los numeradores equivalentes y colocar el mcm como denominador. 4. Simplificar la fracción resultante si es posible. ### Ejemplo detallado - Calcular: $\frac{5}{12}-\frac{3}{6}+\frac{7}{4}$ Paso 1: Determinar el mcm de $12$, $6$ y $4$. Los múltiplos: $12$ es múltiplo de $6$ y de $4$, por lo tanto $\mathrm{mcm}(12,6,4)=12$. Paso 2: Convertir cada fracción al denominador $12$: - Para $\frac{5}{12}$ no hace falta cambiar: $\frac{5}{12}$. - Para $\frac{3}{6}$: $\frac{3}{6}=\frac{3\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{6}{12}$. - Para $\frac{7}{4}$: $\frac{7}{4}=\frac{7\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{21}{12}$. Paso 3: Sumar algebraicamente los numeradores con signo: $$\frac{5}{12}-\frac{6}{12}+\frac{21}{12}=\frac{5-6+21}{12}=\frac{20}{12}.$$ Paso 4: Simplificar $\frac{20}{12}$ dividiendo por 4: $$\frac{20}{12}=\frac{5}{3}.$$ Resultado final: $\frac{5}{3}$. ### Alternativa con la regla del producto cruzado (no preferida cuando hay más de dos fracciones) - Para dos fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ se puede usar: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},$$ pero conviene usar mcm para simplificar cálculos y obtener fracciones más reducidas. ## 4. Tabla comparativa | Situación | Paso clave | Ventaja | Ejemplo rápido | | --- | ---: | --- | --- | | Mismo denominador | Sumar numeradores directamente | Rápido y directo | $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$ | | Distinto denominador | Usar mcm y convertir | Evita fracciones grandes y facilita simplificar | $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$ | ## 5. Consejos y trucos - Siempre busca el **mcm** en lugar de multiplicar los denominadores si quieres resultados más simples.