Test sobre Producto mixto y el volumen del paralelepípedo

Pregunta 1: El resultado final del producto mixto de tres vectores es un vector perpendicular al plano formado por los dos primeros vectores.

A. Sí

B. No

Explicación: El resultado final del producto mixto es un escalar, es decir, un número real. El producto vectorial de los dos primeros vectores (a × b) es un vector perpendicular al plano que forman, pero el producto mixto completo (a × b) · c es un escalar.

Pregunta 2: ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la expansión correcta del determinante utilizado para calcular el producto mixto de tres vectores a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) y c = (c₁, c₂, c₃)?

A. a₁ (b₂c₃ - b₃c₂) + a₂ (b₁c₃ - b₃c₁) + a₃ (b₁c₂ - b₂c₁)

B. a₁ (b₂c₃ - b₃c₂) - a₂ (b₁c₃ - b₃c₁) + a₃ (b₁c₂ - b₂c₁)

C. a₁ (b₂c₃ + b₃c₂) - a₂ (b₁c₃ + b₃c₁) + a₃ (b₁c₂ + b₂c₁)

D. a₁ (b₁c₁ - b₂c₂) - a₂ (b₃c₃ - b₁c₁) + a₃ (b₂c₂ - b₃c₃)

Explicación: La expansión del determinante para el producto mixto es: a₁ (b₂c₃ - b₃c₂) - a₂ (b₁c₃ - b₃c₁) + a₃ (b₁c₂ - b₂c₁). Esta fórmula se deriva de la definición del producto mixto y su relación con el determinante de una matriz 3x3, donde las filas son las componentes de los vectores a, b y c.

Pregunta 3: El volumen final del paralelepípedo formado por los vectores a = (1, 2, 3), b = (0, 1, 2) y c = (3, 0, 1) es de 5 unidades cúbicas.

A. Sí

B. No

Explicación: Según el ejemplo, después de calcular el determinante, el volumen del paralelepípedo es |4| = 4 unidades cúbicas, no 5.

Pregunta 4: La tercera componente del vector b es 1.

A. Sí

B. No

Explicación: El estudio de caso establece que el vector b tiene los componentes (0, 1, 2). Por lo tanto, su tercera componente es 2, no 1.

Pregunta 5: Según el Ejemplo 1, ¿cuáles son los vectores que forman el paralelepípedo?

A. a = (1, 2, 3), b = (0, 1, 2) y c = (3, 0, 1)

B. a = (1, 1, 1), b = (0, 0, 0) y c = (3, 3, 3)

C. a = (1, 2, 3) y b = (0, 1, 2)

D. a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 0) y c = (0, 1, 3)

Explicación: El Ejemplo 1 establece explícitamente: 'Consideremos los vectores a = (1, 2, 3), b = (0, 1, 2) y c = (3, 0, 1). Queremos encontrar el volumen del paralelepípedo formado por estos vectores.'