Resumen de Problemas y Conceptos Fundamentales de Álgebra

## Introducción En este material estudiaremos problemas matemáticos habituales que se resuelven mediante modelado con ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. El objetivo es aprender a traducir enunciados a ecuaciones, resolverlas correctamente y comprobar las soluciones. > Definición: Un problema matemático se modela mediante una o varias ecuaciones que relacionan las incógnitas; resolver el problema equivale a hallar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. ## Estrategia general para resolver problemas 1. Leer el enunciado con atención y subrayar datos y lo que se pide. 2. Llamar a las incógnitas con símbolos claros, por ejemplo $x$, $y$. 3. Traducir las frases a igualdades matemáticas (planteamiento). 4. Resolver el sistema o la ecuación obtenida. 5. Comprobar que las soluciones cumplen las condiciones del enunciado. 6. Interpretar el resultado en contexto. > Tip: Es útil hacer una tabla o dibujo cuando intervienen cantidades de distinto tipo (edades, cantidades de líquido, longitudes). ## Tipos de problemas y técnicas de modelado ### 1) Problemas de suma/resta y edades - Planteamiento típico: Si "A tiene $x$ años y B tiene $y$ años" y hay relaciones entre ellas, traducir cada relación a una ecuación. Ejemplo: "Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada una?" Planteamos $y-x=15$ y, si además sabemos una suma total $x+y=S$, resolvemos: $$y-x=15$$ $$x+y=S$$ Sustituyendo y resolviendo obtenemos $x=\frac{S-15}{2}$, $y=\frac{S+15}{2}$. ### 2) Problemas de números de dos o tres cifras - Uso de la representación $10x+y$ para números de dos cifras, y $100x+10y+z$ para tres cifras. Ejemplo práctico: "La suma de las dos cifras es 10 y al invertir las cifras el número aumenta 36". Planteamos: $$x+y=10$$ $$10y+x-(10x+y)=36$$ Resolviendo se obtiene el número buscado. ### 3) Problemas geométricos (perímetros, áreas) - Traducción directa: Perímetro o área como suma de lados o fórmula dada. Ejemplo: Triángulo isósceles con perímetro 19 cm y cada lado igual excede en 2 cm al doble del lado desigual. Si $x$ es la longitud de cada lado igual e $y$ la desigual: $$2x+y=19$$ $$x=2y+2$$ Sustituir y resolver. ### 4) Mezclas y medias ponderadas - Tabla de cantidades y precios unitarios facilita el planteamiento. Ejemplo: Mezcla de 40 L con precios $0.94$ y $0.86$ €/L cuyo precio medio es $0.89$ €/L. Si $x$ litros del primero e $y$ del segundo: $$x+y=40$$ $$0.94x+0.86y=0.89\cdot 40$$ Resolver por sustitución o eliminación. ### 5) Porcentajes y beneficios - Traducir el beneficio porcentual como multiplicación por la tasa. Ejemplo: Invertir en dos productos con rendimientos, diferencias de beneficio y suma de capital total $10000$. Si $x,y$ son inversiones: $$x+y=10000$$ $$0.05x-0.035y=300$$ Resolver para $x,y$. ### 6) Cinemática (problemas de encuentro) - Usar $\text{distancia}=\text{velocidad}\cdot \text{tiempo}$ y la suma de distancias igual a la distancia total. Ejemplo: Dos coches, velocidades $v_1,v_2$ y distancia total $D$: $$v_1 t+v_2 t=D$$ Despejar $t$. ### 7) Ecuaciones racionales y cuadráticas - Pasar a denominador común, simplificar y comprobar raíces extraviadas. - Para ecuaciones con cuadrados, expandir, agrupar y resolver la cuadrática resultante. ## Resolución paso a paso: ejemplos extraídos y corregidos ### Problema: Un número excede en 12 a otro; si restáramos 4 a cada uno, el primero sería el doble del segundo. Planteamiento: Sean $x$ y $y$ los números con $x-y=12$. Si restamos 4 a cada uno: $$x-4=2(y-4)$$ Resolver: $$x-y=12$$ Sustituimos $x=y+12$ en la segunda: $$y+12-4=2(y-4)$$ $$y+8=2y-8$$ $$8+8=y$$ $$y=16$$ $$x=28$$ Resultado: $x=28$, $y=16$. ### Problema: Triángulo isósceles perímetro 19 y lados iguales $x$ exceden en 2 al doble del desigual $y$. Planteamos: $$2x+y=19$$ $$x=2y+2$$ Sustituimos: $$2(2y+2)+y=19$$ $$4y+4+y=19$$ $$5y=15$$ $$y=3$$ $$x=2\cdot 3+2=8$$ Lados: $8$, $8$ y $3$ cm. ### Problema: Pablo y Alicia llevan entre los dos