Resumen de Problemas de Trabajo y Energía

## Introducción La energía mecánica y el trabajo son conceptos centrales en la mecánica clásica. En este material veremos cómo se define el trabajo, cómo se relaciona con la energía cinética mediante el Teorema Trabajo-Energía, y cómo se conserva la energía mecánica en sistemas sin fuerzas disipativas. Presentaremos definiciones, ejemplos resueltos, aplicaciones y ejercicios tipo para practicar. ## Conceptos básicos ### ¿Qué es trabajo? > Definición: El trabajo realizado por una fuerza $\vec{F}$ cuando aplica un desplazamiento $\\Delta \vec{r}$ es el producto escalar entre ambos: $W = \\vec{F} \cdot \\Delta \vec{r}$. - Si la fuerza es constante y el desplazamiento es rectilíneo: $W = F\,d\,\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. - Si la fuerza varía con la posición, el trabajo se obtiene por integración: $$W = \int_{r_i}^{r_f} \\vec{F}(r) \cdot d\\vec{r}$$ ### ¿Qué es energía cinética? > Definición: La energía asociada al movimiento de una masa $m$ con rapidez $v$ es $K = \tfrac{1}{2} m v^2$. ### Teorema Trabajo–Energía > Definición: El trabajo neto sobre una partícula es igual al cambio en su energía cinética: $$W_{net} = \Delta K = K_f - K_i$$ - Si sobre la partícula actúan varias fuerzas, $W_{net} = \sum_i W_i$. - Este teorema permite relacionar fuerzas y desplazamientos con cambios de velocidad sin integrar la ecuación de movimiento. ### Energía potencial y energía mecánica > Definición: La energía potencial gravitatoria, para alturas pequeñas respecto a una referencia, es $U = m g h$. - Energía mecánica total: $E = K + U$. - En ausencia de fuerzas disipativas (rozamiento, resistencia viscosa), la energía mecánica se conserva: $$E_i = E_f$$ - Si hay trabajo de fuerzas no conservativas $W_{nc}$, entonces $$\Delta E = W_{nc}$$ o $$K_f + U_f = K_i + U_i + W_{nc}$$ ## Cálculo del trabajo: casos comunes ### Fuerza constante y desplazamiento rectilíneo - Uso directo del producto escalar: $W = F_x \,\Delta x + F_y \,\Delta y + F_z \,\Delta z$. Ejemplo práctico 1: Una partícula se desplaza $\Delta \vec{r} = 5\hat{i}\ \mathrm{m}$ y sobre ella actúan $\\vec{F}_1 = (5\hat{i}-4\hat{j})\ \mathrm{N}$. Trabajo de $\\vec{F}_1$: $$W_1= \\vec{F}_1 \cdot \\Delta \vec{r} = (5)(5)+(-4)(0)=25\ \mathrm{J}$$ ### Fuerzas con componentes y desplazamientos en dos dimensiones - Descomponer fuerzas en componentes y usar $W = F_x\,\Delta x + F_y\,\Delta y$. Ejemplo práctico 2: Si $\\vec{F}_2 = (-3\hat{i}+\hat{j})\ \mathrm{N}$ y $\\Delta \vec{r}=(7\hat{i}+9\hat{j})\ \mathrm{m}$, entonces $$W_2 = (-3)(7)+(1)(9) = -21+9 = -12\ \mathrm{J}$$ ### Fuerza variable unidimensional - Cuando $\\vec{F} = F_x(x)\hat{i}$ y el desplazamiento es a lo largo de $x$, entonces: $$W = \int_{x_i}^{x_f} F_x(x)\,dx$$ Ejemplo práctico 3: Si $\\vec{F} = (4x\hat{i} + 3y\hat{j})\ \mathrm{N}$ y el movimiento es sobre el eje $x$ desde $x=0$ hasta $x=5\ \mathrm{m}$ (con $y=0$), entonces: $$W = \int_{0}^{5} 4x\,dx = \left.2x^2\right|_{0}^{5} = 2(25) = 50\ \mathrm{J}$$ ## Trabajo y fuerzas disipativas (rozamiento, resistencia del aire) - El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento suele ser negativo porque extrae energía del sistema. - Fuerza de rozamiento cinético: $f_k = \mu_k N$, para superficies horizontales $N=mg$, así $f_k = \mu_k mg$. Ejemplo práctico 4: Una caja que pesa $40\ \mathrm{N}$ (equivalente a $m g = 40\ \mathrm{N}$) se arrastra 15 m con $\mu_k=0.2$. Trabajo hecho por la persona contra el rozamiento (velocidad constante): la fuerza aplicada horizontal debe igualar $f_k = \mu_k (40)=8\ \mathrm{N}$, entonces $W = F d = 8\times 15 = 120\ \mathrm{J}$ realizado por la persona a favor del desplazamiento (si se pide el trabajo neto, sumar trabajo del rozamiento negativo y de la persona). Sea claro el signo según convención. ## Aplicación del Teorema Trabajo–Energía en problemas Pasos prácticos para resolver problemas: 1. Identificar todas las fuerzas que realizan trabajo y si son conservativas o no. 2. Calcular el tra