Resumen de Principios de la Relatividad Especial

## Introducción La **relatividad especial** es la teoría formulada por Albert Einstein que describe cómo se relacionan el espacio y el tiempo en marcos inerciales que se mueven a velocidades constantes entre sí. Sus dos postulados fundamentales son: las leyes físicas son las mismas en todos los marcos inerciales y la velocidad de la luz en el vacío $c$ es la misma para todos los observadores. A partir de ellos surgen consecuencias que contradicen la intuición clásica: la simultaneidad relativa, la dilatación del tiempo, la contracción de longitudes y la relación entre energía, masa y cantidad de movimiento. ## Conceptos básicos y postulados > Postulado 1: Todas las leyes fundamentales de la física tienen la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales. > Postulado 2: La rapidez de la luz en el vacío es la misma en todos los marcos inerciales y es independiente del movimiento de la fuente. ### Simultaneidad - La simultaneidad no es absoluta: dos sucesos que son simultáneos en un marco pueden no serlo en otro que se mueva respecto al primero. - Consecuencia práctica: observadores en relativo movimiento pueden ordenar eventos de manera distinta si los eventos están separados espacialmente. > Definición: Intervalo propio de tiempo $\Delta t_0$ es el tiempo entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto espacial en un marco dado. ## Dilatación del tiempo - Si una pareja de sucesos ocurre en el mismo lugar en un marco (por ejemplo, el latido de un reloj en su propio sistema), el intervalo propio $\Delta t_0$ y el intervalo medido por un observador que ve ese reloj moverse con velocidad $u$ están relacionados por: $$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} = \gamma \Delta t_0$$ - Aquí $\gamma$ es el factor de Lorentz: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$$ - Interpretación: el observador que ve al reloj moverse medirá que los intervalos entre ticks son más largos (el reloj va más lento). ### Ejemplo práctico - Un reloj en una nave que viaja a $0{.}8\,c$ respecto a la Tierra: $\gamma = 1/\sqrt{1-0{.}8^2}=1{.}666\ldots$. Si el intervalo propio es $1\,\mathrm{s}$, en la Tierra se ve como $1{.}666\,\mathrm{s}$. ## Contracción de longitud - Si una longitud propia medida en el reposo del objeto es $l_0$, un observador para el que el objeto se mueve con velocidad $u$ medirá: $$l = l_0\sqrt{1 - u^2/c^2} = \frac{l_0}{\gamma}$$ - La contracción ocurre sólo en la dirección del movimiento; las dimensiones perpendiculares no cambian. ### Ejemplo práctico - Una barra de longitud propia $l_0=10\,\mathrm{m}$ viajando a $0{.}6\,c$ tiene $\gamma=1/\sqrt{1-0{.}6^2}=1{.}25$, por lo que $l=8\,\mathrm{m}$. ## Transformaciones de Lorentz - Relacionan coordenadas espacio-temporales entre dos marcos inerciales $S$ y $S'$ cuando $S'$ se mueve con velocidad $u$ respecto a $S$ en la dirección $x$: $$x' = \gamma (x - ut)$$ $$y' = y \quad z' = z$$ $$t' = \gamma \left(t - \frac{ux}{c^2}\right)$$ - Estas transformaciones sustituyen a las transformaciones de Galileo cuando las velocidades son comparables a $c$. ### Transformación de velocidades (unidimensional) - Para la velocidad de una partícula: $$v_s' = \frac{v_s - u}{1 - uv_s/c^2}$$ $$v_s = \frac{v_s' + u}{1 + uv_s'/c^2}$$ - Importante: la composición relativista de velocidades impide superar $c$ si todas las velocidades son menores que $c$. ## Efecto Doppler relativista para la luz - La frecuencia recibida $f$ de una fuente que se mueve con velocidad $u$ hacia/alejándose del observador (aplicado a luz) se relaciona con la frecuencia emitida $f_0$ por: $$f = \sqrt{\frac{c + u}{c - u}}\, f_0$$ - Para movimiento relativo no colineal existe una forma más general que incorpora ángulo entre la dirección de emisión y la velocidad de la fuente. ¿Sabías que la luz de galaxias alejándose de nosotros está corrid a hacia el rojo, lo que confirma la expansión del universo? (Observación cosmológica relacionada con desplazamientos Doppler/relativistas.) ## Cantidad de movimien