Resumen de Porcentajes: Definición y Aplicaciones

## Introducción Los porcentajes y las fracciones nos ayudan a decir qué parte de un todo tenemos. Imagina que divides algo en 100 partes iguales: cada una de esas partes es 1%. En la escuela usamos porcentajes y fracciones para resolver problemas con dinero, comida, tiempo y más. > **Definición:** Un porcentaje es una razón con consecuente 100. Por ejemplo, $15\%$ significa $\dfrac{15}{100}$. ## ¿Qué es una fracción y qué es un porcentaje? ### Fracción - Una fracción representa una parte de un todo con dos números: el numerador (parte) y el denominador (total). Por ejemplo, $\dfrac{3}{4}$ significa 3 partes de 4. > **Definición:** Una fracción $\dfrac{a}{b}$ muestra cuántas partes $a$ hay de un total dividido en $b$ partes iguales. ### Porcentaje - Un porcentaje expresa una fracción cuyo denominador es $100$. Por ejemplo, $50\% = \dfrac{50}{100}$. > **Definición:** $x\%$ es la fracción $\dfrac{x}{100}$. ## Cómo convertir porcentaje en fracción irreductible 1. Escribe el porcentaje como fracción con denominador $100$: $x\% \rightarrow \dfrac{x}{100}$. 2. Simplifica la fracción dividiendo arriba y abajo por el mismo número hasta que no se pueda más. Ejemplos: $$75\% = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$$ $$50\% = \dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2}$$ Tabla comparativa: | Porcentaje | Fracción | Fracción irreductible | | --- | --- | --- | | $10\%$ | $\dfrac{10}{100}$ | $\dfrac{1}{10}$ | | $25\%$ | $\dfrac{25}{100}$ | $\dfrac{1}{4}$ | | $75\%$ | $\dfrac{75}{100}$ | $\dfrac{3}{4}$ | ## Cómo calcular un porcentaje de una cantidad Pasos sencillos: 1. Convierte el porcentaje a fracción: $x\% = \dfrac{x}{100}$. 2. Multiplica la fracción por la cantidad total. Ejemplo práctico (pan): - Una amasandería horneó $120$ kg de pan y vendió $\dfrac{1}{2}$ del total en la mañana. - Porcentaje vendido: $\dfrac{1}{2} = 50\%$. - Kilos vendidos: $120 \times \dfrac{1}{2} = 60$ kg. - De los panes no vendidos quedaron $120 - 60 = 60$ kg. Si regalaron el $25\%$ de lo no vendido: - $25\% = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$. - Kilos regalados: $60 \times \dfrac{1}{4} = 15$ kg. Ejemplo (cemento): - Francisco compró $1500$ kg de cemento y utilizó $75\%$. - $75\% = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$. - Kilos usados: $1500 \times \dfrac{3}{4} = 1125$ kg. - Kilos sobrantes: $1500 - 1125 = 375$ kg. ## Representación visual: la cuadrícula 10x10 - Un cuadrado de $10\times 10$ tiene $100$ cuadritos. Cada cuadrito representa $1\%$. - Si están pintados $68$ cuadritos, eso es $68\%$ porque $\dfrac{68}{100} = 68\%$. Did you know que dibujar la cuadrícula ayuda a ver rápidamente fracciones como porcentajes y facilita sumar porcentajes? (Ejemplo: $25\%$ es un cuarto del cuadrado, $50\%$ es la mitad.) ## Ejemplo paso a paso (alumnos) - En un curso con $28$ alumnos asistieron $\dfrac{3}{4}$ el lunes. - Calcula $\dfrac{1}{4}$ de $28$: $28 : 4 = 7$. - Entonces $\dfrac{3}{4}$ de $28$ es $3 \times 7 = 21$ alumnos. ## Reglas útiles y consejos - Para calcular $x\%$ de una cantidad $N$: convierte $x\%$ a $\dfrac{x}{100}$ y multiplica: $N \times \dfrac{x}{100}$. - Simplifica fracciones antes de multiplicar si es posible para facilitar cálculos. - Para pasar de fracción a porcentaje: multiplica por $100$ y añade el símbolo $\%$: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}\times 100\%$. Ejemplo: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\times 100\% = 75\%$. Fun fact: El símbolo % proviene de una abreviación italiana antiguamente escrita como per cento que significa "por ciento" y se usa desde hace siglos para indicar partes de cien. ## Actividades sugeridas (práctica rápida) 1. Si en una fiesta hay $200$ invitados y $40\%$ comen postre, ¿cuántos comen postre? Resuelve convirtiendo el porcentaje y multiplicando. 2. Convierte estas fracciones a porcentajes: $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{3}{10}$. 3. Dibuja una cuadrícula $10\times 10$ y pinta $37$ cuadritos. ¿Qué porcentaje representa?