Resumen de Óptica Geométrica: Lentes, Espejos y Experimentos
Óptica Geométrica: Lentes, Espejos y Experimentos - Guía
Introducción
La cantidad de movimiento (momentum) y los choques son conceptos fundamentales en mecánica que relacionan fuerzas, impulsos y la interacción entre partículas. En este material revisaremos definiciones, teoremas, conservación, tipos de choque, centro de masa y problemas resueltos que muestran aplicaciones prácticas.
Definición: La cantidad de movimiento de una partícula es el producto de su masa por su velocidad: $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$.
1. Impulso
Impulso de una fuerza constante
El impulso es la cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza aplicada durante un intervalo de tiempo. Si una fuerza $\vec{F}$ es constante en módulo y dirección durante $\Delta t$, entonces:
$$\vec{I} = \vec{F} \cdot \Delta t$$
Definición: El impulso $\vec{I}$ es el producto de una fuerza por el intervalo de tiempo durante el cual actúa.
Impulso de una fuerza variable
Si la fuerza varía en el tiempo, el impulso total es la integral temporal de la fuerza:
$$\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) , dt$$
En componentes, en dos dimensiones:
$$\vec{I}x = \int{t_1}^{t_2} F_x(t) , dt \quad \text{y} \quad \vec{I}y = \int{t_1}^{t_2} F_y(t) , dt$$
Interpretación física
- El impulso cambia la cantidad de movimiento de la partícula.
- Es útil para describir interacciones cortas e intensas (por ejemplo, choques).
2. Teorema del impulso y la cantidad de movimiento
El teorema relaciona impulso y variación de momentum:
$$\vec{I} = \Delta \vec{p} = m \cdot \vec{v}_f - m \cdot \vec{v}_i = m \cdot \Delta \vec{v}$$
En componentes:
$$I_x = m\left(v_{x f} - v_{x i}\right) \quad I_y = m\left(v_{y f} - v_{y i}\right)$$
Aplicación práctica: para resolver problemas vectoriales, dibuja siempre los vectores y proyecta las componentes sobre los ejes, asignando signos correctos.
3. Conservación de la cantidad de movimiento y choques
Conservación en choques de dos partículas
Si no hay fuerzas externas netas, la cantidad de movimiento total del sistema se conserva:
$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$$
Definición: En una interacción aislada, la suma vectorial de los momentos antes y después es la misma.
Coeficiente de restitución
Define cómo se relacionan las velocidades relativas antes y después del choque:
$$e = -\frac{v_{1f} - v_{2f}}{v_{1i} - v_{2i}}$$
Interpretación:
- Choque plástico: $e = 0$ (sepegan y quedan juntos)
- Choque semielástico: $0 < e < 1$
- Choque elástico: $e = 1$ (energía cinética conservada en el choque)
- Choque explosivo: $e > 1$
Tabla comparativa de choques:
| Tipo | $e$ | Conservación de energía cinética en el choque |
|---|---|---|
| Plástico | 0 | No |
| Semielástico | $0<e<1$ | Parcialmente no |
| Elástico | 1 | Sí |
| Explosivo | $>1$ | Se libera energía interna |
Ejemplo rápido
Dos masas $m_1$ y $m_2$ colisionan; usando conservación vectorial, resuelve componente por componente para obtener $v_{1f}$ y $v_{2f}$ junto con la condición del coeficiente $e$ si aplica.
4. Sistema de muchas partículas y centro de masa
Coordenadas del centro de masa
Para $n$ partículas en el plano:
$$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}, \quad y_{cm} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$$
Expresado vectorialmente:
$$\vec{r}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{M} \quad \text{donde } M = \sum m_i$$
Definición: El centro de masa es el punto donde se concentra la masa total para describir el movimiento traslacional del sistema.
La velocidad del centro de masa se obtiene derivando:
$$M \cdot \vec{v}_{cm} = \sum m_i \vec{v}_i$$
y la ley fundamental para muchas par
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Cantidad de movimiento y choques
Klíčové pojmy: Impulso definido como $\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt$, Teorema: $\vec{I}=\Delta\vec{p}=m\vec{v}_f-m\vec{v}_i$, Conservación: $\sum m_i\vec{v}_i$ constante si no hay fuerzas externas, Coeficiente de restitución $e=-\dfrac{v_{1f}-v_{2f}}{v_{1i}-v_{2i}}$ clasifica choques, Centro de masa: $\vec{r}_{cm}=\dfrac{\sum m_i\vec{r}_i}{M}$, Velocidad del CM: $M\vec{v}_{cm}=\sum m_i\vec{v}_i$, En choques resolver componente x e y por separado, Péndulo balístico: $v_i=\dfrac{(m+M)\sqrt{2 g y}}{m}$