Resumen de Óptica Geométrica: Formación de Imágenes en Espejos

## Introducción Los **espejos esféricos** son superficies reflectantes que forman parte de una esfera. Según la porción que se use, pueden ser **cóncavos** (superficie reflectante interna) o **convexos** (superficie reflectante externa). En este material revisaremos su geometría, propiedades básicas, la deducción de la ecuación general de los espejos esféricos y aplicaciones prácticas. > Definición: Un espejo esférico es una sección de una esfera cuya superficie reflectante puede ser cóncava o convexa; su comportamiento óptico se estudia trazando rayos que inciden sobre su superficie y aplicando la ley de la reflexión. ## Elementos geométricos principales - **Centro de curvatura**: $C$, centro de la esfera a la que pertenece el espejo. - **Radio de curvatura**: $R$, distancia entre $C$ y cualquier punto de la superficie. - **Vértice**: $V$, punto de la superficie sobre el eje principal. - **Eje principal**: recta que une $C$ con $V$ y se prolonga a ambos lados. - **Foco**: $f$, punto ubicado a la mitad del radio, es decir $f$ está a distancia $f=\tfrac{R}{2}$ del vértice en espejos esféricos para aproximaciones paraxiales. > Definición: Eje principal es la recta que pasa por $C$ y $V$ y se utiliza como referencia para ubicar objetos e imágenes. ## Tipos de imagen formado por espejos esféricos - **Imagen real**: los rayos reflejados realmente convergen en un punto; la imagen puede proyectarse en una pantalla y suele estar invertida. - **Imagen virtual**: los rayos reflejados parecen divergir desde un punto; la imagen no puede proyectarse en una pantalla y suele ser derecha (erecta) en espejos convexos. ## Principales rayos utilizados en trazado (reglas para espejos cóncavos) - Rayo que pasa por el centro de curvatura $C$: se refleja sobre sí mismo (retroreflectado). - Rayo paralelo al eje principal: después de la reflexión pasa por el foco $f$. - Rayo que pasa por el foco $f$: después de la reflexión sale paralelo al eje principal. - Rayo que incide en el vértice $V$: se refleja siguiendo la ley de la reflexión con ángulos iguales. ## Deducción de la ecuación general de los espejos esféricos Presentaremos una deducción geométrica basada en semejanza de triángulos y la definición de aumentos. Sea un objeto de altura $h$ ubicado sobre el eje principal a una distancia $s$ del vértice, y su imagen de altura $h'$ a distancia $s'$ del vértice. Se define el aumento lateral $M$ como $$M = \frac{h'}{h}$$ Trazando dos rayos principales desde la cabeza del objeto y usando triángulos semejantes se obtiene primero: $$\tan{\theta} = \frac{h}{s}$$ $$h = s\,\tan{\theta}$$ y para la imagen (considerando inversión de la imagen): $$\tan{\theta} = -\frac{h'}{s'}$$ $$h' = -s'\,\tan{\theta}$$ Sustituyendo en la definición de aumento: $$M = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}$$ Ahora, tomando ángulos desde el centro de curvatura con un ángulo $\alpha$ y aplicando triángulos semejantes se llega a: $$h = (s-R)\,\tan{\alpha}$$ $$h' = -(R-s')\,\tan{\alpha}$$ De nuevo en el aumento: $$M = \frac{h'}{h} = -\frac{R-s'}{s-R}$$ Igualando las dos expresiones para $M$ y operando algebraicamente se obtiene la ecuación general de los espejos esféricos: $$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{R}$$ Esta ecuación relaciona la distancia del objeto $s$, la distancia de la imagen $s'$ y el radio de curvatura $R$. > Definición: La ecuación general de los espejos esféricos es $\displaystyle\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{R}$. Consecuencia común: si definimos la distancia focal $f$ como $f=\tfrac{R}{2}$, la ecuación puede escribirse en la forma más conocida $$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$$ ## Signos y convenciones (resumen práctico) - Para espejos cóncavos se suele tomar $R>0$ y $f>0$ cuando el foco está frente al espejo; para convexos $R<0$ y $f<0$ si se usa una convención signada clásica. - Distancia objeto $s$: positiva si el objeto está delante del espejo (lado incidente de la luz). - Distancia imagen $s'$: positiva si la imagen está