Resumen de Números Primos, MCM y MCD

## Introducción La descomposición en factores y el trabajo con números primos son herramientas útiles para entender cómo se forma un número a partir de multiplicaciones más pequeñas. Aprenderás a descomponer números paso a paso y a usar esa información para calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) y el máximo común divisor (m.c.d.). ## ¿Qué veremos? - Cómo hacer un árbol de factores - Cómo descomponer por divisiones sucesivas - Cómo usar la descomposición para hallar m.c.m. y m.c.d. - Aplicaciones prácticas y problemas ### > Definición: Descomposición en factores > La descomposición en factores consiste en escribir un número como producto de números más pequeños. Cuando todos los factores son números primos, se llama descomposición en factores primos. ## Árbol de factores (método visual) 1. Escoge el número que quieres descomponer. 2. Divídelo por un número primo que lo divida (por ejemplo $2$, $3$, $5$...). 3. Escribe los dos factores como ramas y repite con cada rama hasta llegar a $1$ o a números primos. Ejemplo: descomponer $48$ con árbol de factores $$48 = 2 \times 24$$ $$24 = 2 \times 12$$ $$12 = 2 \times 6$$ $$6 = 2 \times 3$$ Al final: $$48 = 2^{4} \times 3$$ > Definición: Número primo > Un número primo es aquel que tiene exactamente dos divisores: $1$ y él mismo. Ejemplos: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$. > Definición: Número compuesto > Un número compuesto tiene más de dos divisores y se puede descomponer en factores primos. Ejemplos: $4$, $6$, $8$, $9$, $12$. ## Divisiones sucesivas (método en columnas) - Escribe el número y divide por el menor primo posible repetidas veces. - Anota los primos utilizados; cuando llegues a $1$ terminas. Ejemplo: descomponer $150$ por divisiones sucesivas $$150 \div 2 = 75$$ $$75 \div 3 = 25$$ $$25 \div 5 = 5$$ $$5 \div 5 = 1$$ Resultado: $$150 = 2 \times 3 \times 5^{2}$$ ## Tablas comparativas | Concepto | Cómo se obtiene | Resultado típico | | --- | ---: | --- | | Árbol de factores | Romper el número en dos factores y seguir | Lista de primos, p. ej. $2^{4}\times 3$ | | Divisiones sucesivas | Dividir por primos hasta $1$ | Exponente de primos visible | | m.c.m. | Tomar los factores primos con mayor exponente entre números | Producto de primos con máximos exponentes | | m.c.d. | Tomar factores primos comunes con menor exponente | Producto de primos comunes con menores exponentes | ## m.c.m. usando descomposición prima Pasos: 1. Descompón cada número en factores primos. 2. Para cada primo que aparezca en cualquiera de las descomposiciones, toma el mayor exponente. 3. Multiplica esos primos elevados a esos exponentes. Ejemplo: hallar m.c.m. de $10$ y $15$ $$10 = 2 \times 5$$ $$15 = 3 \times 5$$ Primos involucrados: $2$, $3$, $5$. Exponentes mayores: $2^{1}$, $3^{1}$, $5^{1}$. Entonces: $$\text{m.c.m.}(10,15) = 2 \times 3 \times 5 = 30$$ Ejemplo: problema real Si un camión pasa cada $8$ días y otro cada $12$ días y hoy coincidieron, se volverán a encontrar pasado: $$8 = 2^{3}$$ $$12 = 2^{2} \times 3$$ Máximos exponentes: $2^{3}$, $3^{1}$ $$\text{m.c.m.} = 2^{3} \times 3 = 8 \times 3 = 24\ \text{días}$$ ## m.c.d. usando descomposición prima Pasos: 1. Descompón cada número en factores primos. 2. Para cada primo común a todos los números, toma el menor exponente. 3. Multiplica esos primos elevados a esos exponentes. Ejemplo: m.c.d. de $24$ y $30$ $$24 = 2^{3} \times 3$$ $$30 = 2 \times 3 \times 5$$ Primos comunes: $2$ y $3$. Menores exponentes: $2^{1}$ y $3^{1}$. Entonces: $$\text{m.c.d.}(24,30) = 2 \times 3 = 6$$ ## Ejemplos prácticos resueltos 1) Descomponer $30$, $45$, $48$ en primos: $$30 = 2 \times 3 \times 5$$ $$45 = 3^{2} \times 5$$ $$48 = 2^{4} \times 3$$ 2) m.c.m. de $60$ y $35$: $$60 = 2^{2} \times 3 \times 5$$ $$35 = 5 \times 7$$ Máximos exponentes: $2^{2}$, $3^{1}$, $5^{1}$, $7^{1}$ $$\text{m.c.m.} = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7 = 420$$ 3) Problema de horas: una medicina cada $6$ horas y otra cada $9$ horas, si las tomaron juntas a las $8$ a.m., volverán a coinc