Resumen de Introducción a los Números Racionales

## Introducción Los **números racionales** amplían el conjunto de los números enteros para permitir divisiones exactas entre enteros cuando el divisor no es un factor del dividendo. Esto resuelve situaciones como dividir una pizza entre personas cuando el número de porciones no es múltiplo exacto del número de comensales. > Un número racional es cualquier número que puede expresarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. ### ¿Por qué aparecen los racionales? Cuando trabajamos en el conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$, la división no siempre tiene solución en $\mathbb{Z}$. Por ejemplo, $5:2$ no tiene solución en $\mathbb{Z}$ porque $5$ no es múltiplo de $2$. Para resolver esto definimos el conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$. ## Definición y notación > Definición: $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\;\middle|\;a\in\mathbb{Z},\;b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}$. Cada elemento de $\mathbb{Q}$ se llama número racional. - Un número racional se escribe como una fracción $\dfrac{a}{b}$ donde $a$ es el numerador y $b$ el denominador, $b\neq 0$. - Toda fracción puede simplificarse dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor (mcd). ### Ejemplo práctico (la pizza) La familia de Juan está formada por cuatro personas y llegó un amigo; en total son cinco personas. La mamá compró una pizza entera. Para que todos coman la misma ración debe cortar la pizza en 5 partes iguales. Cada porción vale $\dfrac{1}{5}$. Si la pizza se corta en 10 porciones, cada persona recibe $\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$. ## Representaciones de números racionales - Fracción propia: numerador menor que el denominador, p. ej. $\dfrac{3}{5}$. - Fracción impropia: numerador mayor o igual que el denominador, p. ej. $\dfrac{7}{4}$. - Número mixto: combinación de entero y fracción propia, p. ej. $1\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}$. - Forma decimal: algunos racionales tienen representación decimal finita, otros periódica. Por ejemplo, $\dfrac{1}{4}=0.25$ y $\dfrac{1}{3}=0.333\ldots=0.\overline{3}$. ### Conversión entre formas 1. Fracción impropia a mixta: $\dfrac{7}{4}=1\dfrac{3}{4}$ porque $7:4=1$ resto $3$. 2. Mixta a impropia: $1\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\cdot 4+3}{4}=\dfrac{7}{4}$. 3. Fracción a decimal: dividir numerador entre denominador; $\dfrac{1}{8}=0.125$. 4. Decimal periódico a fracción: si $x=0.\overline{3}$ entonces $10x=3.\overline{3}$; restando, $9x=3$ así $x=\dfrac{1}{3}$. ## Operaciones básicas con números racionales - Suma y resta: reducir a denominador común. Ejemplo: sumar $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$. Denominador común 12, queda $\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}$. - Multiplicación: multiplicar numeradores y denominadores y simplificar. Ejemplo: $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{15}$. - División: multiplicar por el recíproco. Ejemplo: $\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$. - Potencias: elevar numerador y denominador a la potencia. Ejemplo: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$. ## Propiedades importantes - Clausura: $\mathbb{Q}$ está cerrado bajo suma, resta, multiplicación y división (por cero no permitido). - Densidad: Entre dos números racionales siempre existe otro número racional. Por ejemplo, entre $\dfrac{1}{2}$ y $\dfrac{3}{4}$ está $\dfrac{5}{8}$. - Orden: $\mathbb{Q}$ es un conjunto ordenado; se puede comparar cualquier par de racionales. ## Comparación con otros conjuntos | Conjunto | Símbolo | Ejemplo | ¿Contiene división general? | |---|---:|---|---:| | Enteros | $\mathbb{Z}$ | $-2$, $0$, $5$ | No, sólo si hay exactitud | | Racionales | $\mathbb{Q}$ | $\dfrac{3}{4}$, $-\dfrac{7}{2}$ | Sí, salvo por divisor $0$ | | Reales | $\mathbb{R}$ | $\sqrt{2}$, $\pi$ | Sí | Fun fact: ¿Sabías que los números racionales son infinitos y contables, mientras que los números reales son infinitos no contables? Esto significa que, aunque hay infinitos racionales, pueden listarse en una secuencia, a diferencia de los reales. ## Ejem