Resumen de Introducción a la Teoría de Juegos

## Introducción La Teoría de Juegos estudia situaciones estratégicas donde las decisiones de cada agente afectan los resultados de los demás. Es una herramienta clave para entender comportamientos en oligopolios, negociaciones, política, economía y biología. Este material explica conceptos esenciales, ejemplos clásicos y aplicaciones prácticas, usando un lenguaje claro y matemáticamente riguroso. ## ¿Qué es un juego? > Un juego es cualquier situación donde agentes (jugadores) toman decisiones estratégicas y el resultado depende de las decisiones conjuntas. - Jugadores: individuos, empresas, países, etc. - Estrategias: cursos de acción posibles para cada jugador. - Pagos (ganancias): resultados medidos en utilidad, beneficio o costo que cada jugador recibe al final del juego. ## Supuestos básicos - Los agentes son racionales y maximizarán su utilidad esperada. - Información: en muchos modelos se asume información común y perfecta (todos conocen las reglas y pagos). - Los jugadores anticipan las respuestas de los demás y eligen en consecuencia. > La racionalidad en Teoría de Juegos implica que cada jugador no solo es racional, sino que sabe que los demás lo son, y así sucesivamente. ## Equilibrio de Nash > Un Equilibrio de Nash es un perfil de estrategias tal que ningún jugador puede aumentar su pago cambiando unilateralmente su estrategia dado que los demás no cambian. - Si el perfil de estrategias es $(a^*,b^*)$, entonces $a^*$ es mejor respuesta a $b^*$ y $b^*$ es mejor respuesta a $a^*$. - Un equilibrio de Nash puede ser único, múltiple o no existir, y puede ser socialmente subóptimo. ## Estrategias dominantes y dominadas - **Estrategia dominante**: siempre proporciona mayor pago que cualquier otra, sin importar lo que hagan los otros. - **Estrategia dominada**: siempre rinde menos que otra estrategia, sin importar las acciones ajenas. > Si un jugador tiene estrategia dominante, también existe al menos una estrategia dominada; pero tener una estrategia dominada no implica tener una dominante. Tabla comparativa: estrategias | Concepto | Definición | Consecuencia práctica | |---|---:|---| | Estrategia dominante | Siempre mejor que las demás | Jugador la escogerá siempre | | Estrategia dominada | Siempre peor que otra | Jugador nunca la escogerá | | Equilibrio de estrategia dominante | Todos tienen estrategias dominantes | Equilibrio único y claro | ## Juegos simultáneos: matriz de pagos - Representación típica: matriz donde filas son estrategias de un jugador y columnas las del otro; cada celda muestra los pagos $(u_1;u_2)$. Ejemplo (leer la matriz): Jugador 2: Izquierda, Centro, Derecha Jugador 1: Alto, Bajo Matriz: - Alto: (0;1), (2;1), (1;0) - Bajo: (3;0), (1;0), (0;2) Análisis paso a paso: dada la elección del otro, ¿qué elige cada jugador? Al cruzar mejores respuestas se determina que (Centro; Alto) es un Equilibrio de Nash. ## Ejemplos clásicos 1) Guerra de Publicidad (duopolio) - Pagos (Coca-Cola; Pepsi): - (HP,HP): $(200;300)$ - (HP,NHP): $(300;0)$ - (NHP,HP): $(0;750)$ - (NHP,NHP): $(400;500)$ - Coca-Cola tiene estrategia dominante HP; (HP,HP) es equilibrio de Nash. - Did you know que el equilibrio $(HP,HP)$ es Pareto inferior comparado con $(NHP,NHP)$ donde ambas empresas ganan más? Esto ilustra conflictos entre incentivos individuales y eficiencia colectiva. 2) Guerra de los Sexos (coordinación con preferencia) - Pareja: Esposo prefiere Montaña, Esposa prefiere Playa; ambos prefieren ir juntos que separados. Matriz de pagos: - (Montaña,Montaña): $(2;1)$ - (Playa,Playa): $(1;2)$ - cruzados: $(0;0)$ - No hay estrategias dominantes; existen dos Equilibrios de Nash puros: $(Montaña,Montaña)$ y $(Playa,Playa)$. 3) Dilema del Prisionero - Pagos (costos en meses): - (Confesar,Confesar): $(36;36)$ - (Confesar,No): $(6;120)$ - (No,Confesar): $(120;6)$ - (No,No): $(24;24)$ - "Confesar" es estrategia dominante para ambos; $(Confesar,Confesar)$ es equilibrio de Nash pero es Pareto infer