Resumen de Guía Integral de Ciencias y Sociedad

## Introducción La proporcionalidad y los porcentajes son herramientas matemáticas que nos permiten comparar cantidades, repartir recursos y calcular partes de un todo en situaciones reales. Aprenderlas facilita resolver problemas de reparto, finanzas personales, estadística básica y escalas en la vida diaria. > Definición: La variación proporcional es la relación entre dos cantidades cuando el cambio en una provoca un cambio en la otra. ## Proporcionalidad ### Concepto básico Cuando dos cantidades varían de forma que al aumentar una la otra también aumenta en la misma proporción, decimos que existe **proporcionalidad directa**. La forma general es: $$y = kx$$ donde $y$ es la variable dependiente, $x$ la variable independiente y $k$ la **constante de proporcionalidad**. > Definición: La constante de proporcionalidad es el valor que se obtiene al dividir cualquier valor de una magnitud por el valor correspondiente de la otra en una proporcionalidad directa; ese valor es constante. ### Proporcionalidad directa vs inversa | Tipo | Relación | Ejemplo sencillo | |---|---:|---| | Proporcionalidad directa | $y = kx$ | Más horas trabajadas $ o$ mayor salario proporcionalmente | | Proporcionalidad inversa | $y = \dfrac{k}{x}$ | Más trabajadores $ o$ menos tiempo por persona si el trabajo es fijo | ### Reparto proporcional (pasos) 1. Sumar las cantidades de referencia (por ejemplo, aportaciones o horas): $S$. 2. Calcular la constante $k$ con la cantidad total $T$: $$k = \dfrac{T}{S}$$ 3. Para cada persona o elemento con valor $x_i$, calcular su parte: $$y_i = k x_i$$ > Ejemplo resuelto: Rifa de "México Saludable" - Premio total: $T = 4000$. - Aportaciones: $10$, $50$, $20$, $80$, $40$. Suma $S = 200$. - Constante: $$k = \dfrac{4000}{200} = 20$$ - Reparto: $y_1 = 20\cdot 10 = 200$, $y_2 = 20\cdot 50 = 1000$, $y_3 = 20\cdot 20 = 400$, $y_4 = 20\cdot 80 = 1600$, $y_5 = 20\cdot 40 = 800$. Este reparto es proporcional a la aportación de cada persona y suma $4000$. > Ejemplo práctico: Reparto de propinas - Hay 5 cocineros y 3 meseros con horas: cocineros: $8$, $8$, $6$, $4$, $3$; meseros: $8$, $6$ (según el enunciado hay 5 cocineros y 3 meseros; organiza las horas por persona). Supongamos las horas por persona son $8$, $8$, $6$, $4$, $3$ para cocineros y $8$, $6$, $8$ para meseros según el caso específico. Suma total de horas $S$ (suma todas las horas trabajadas). Con total de propinas $T = 15750$: - Constante: $$k = \dfrac{15750}{S}$$ - Parte de cada trabajador: $$y_i = k x_i$$ (Si necesitas, puedo calcular $S$ y repartirlo con los valores exactos que confirmes.) ### Cuando usar reparto simple vs proporcional - Reparto simple: dividir $T$ entre $n$ personas por igual: $$\text{parte} = \dfrac{T}{n}$$ - Reparto proporcional: usar $k = \dfrac{T}{S}$ y $y_i = k x_i$ cuando las contribuciones u horas son diferentes. Fun fact: ¿Sabías que la proporcionalidad se usa para escalar recetas de cocina? Si una receta es para 4 personas y quieres hacerla para 10, multiplicas ingredientes por la razón de cambio. ## Porcentajes ### Concepto y representaciones Un porcentaje expresa una parte de 100. Para representar $p$ por ciento usamos tres formas: - Fracción: $\dfrac{p}{100}$ - Decimal: $\dfrac{p}{100}$ (por ejemplo, $26\% = 0.26$) - Notación con el símbolo: $26\%$ > Definición: El porcentaje indica cuántas partes de cada $100$ hay de una cantidad. ### Calcular un porcentaje de una cantidad Para obtener el $p\%$ de una cantidad $A$: $$\text{parte} = A \cdot \dfrac{p}{100}$$ Ejemplo: $26\%$ de $2000$: $$\text{parte} = 2000 \cdot 0.26 = 520$$ ### Tres variables en problemas de porcentaje Hay cuatro elementos relacionados: cantidad total $A$, cantidad parcial $P$, $100\%$ y porcentaje $p$. Conocidas tres, hallas la cuarta. - Para encontrar $p$ cuando conoces $P$ y $A$: $$p = \dfrac{P}{A} \cdot 100$$ Ejemplo con datos del INEGI 2020: - Población total $A = 127900000$. - Personas de 15 a 29 años $P = 30696000$. $$p = \dfrac{30696000