Resumen de Fundamentos de la Lógica Formal

## Introducción Las tablas de verdad son una herramienta sistemática para evaluar fórmulas proposicionales y comprobar la relación entre premisas y conclusión en argumentos. Permiten saber cuándo una proposición compuesta es verdadera o falsa según los valores de verdad de sus partes. > Definición: Una tabla de verdad es un listado que muestra todas las combinaciones posibles de valores de verdad para las proposiciones atómicas y el valor resultante de una proposición compuesta. ## Conceptos básicos ### Proposición atómica y conectivos - Una **proposición atómica** es una oración que puede ser verdadera (V) o falsa (F), por ejemplo: "El mercurio es un metal". Se simboliza con letras: $p$, $q$, $r$. - **Conectivos proposicionales** comunes: - Negación: $\lnot p$ (no $p$) - Conjunción: $p \land q$ ( $p$ y $q$ ) - Disyunción: $p \lor q$ ( $p$ o $q$ ) - Implicación: $p \to q$ (si $p$ entonces $q$) - Doble implicación: $p \leftrightarrow q$ ( $p$ si y solo si $q$ ) > Definición: El valor de verdad de una proposición compuesta depende únicamente de los valores de verdad de sus proposiciones atómicas y de la semántica de los conectivos. ### Cómo construir una tabla de verdad 1. Identificar las proposiciones atómicas: $p$, $q$, $r$, ... 2. Listar todas las combinaciones posibles de V y F (hay $2^n$ combinaciones si hay $n$ atómicas). 3. Calcular columnas intermedias para subfórmulas. 4. Calcular la columna final de la fórmula completa. Ejemplo rápido: para $p$, $q$ hay $2^2 = 4$ filas: $$(p,q) = (V,V), (V,F), (F,V), (F,F)$$ ## Tipos de fórmulas según su tabla | Tipo | Descripción | Ejemplo simbólico | |---|---:|---| | Tautología | Siempre verdadera (todas las filas V) | $p \lor \lnot p$ | | Contradicción | Siempre falsa (todas las filas F) | $p \land \lnot p$ | | Contingencia | Verdadera en algunas filas y falsa en otras | $p \land q$ | > Definición: Una fórmula es una **tautología** si su tabla de verdad da V en todas las filas; es una **contradicción** si da F en todas las filas; es una **contingencia** si da V en algunas y F en otras. ## Validez de argumentos mediante tablas de verdad Un argumento con premisas $\Gamma$ y conclusión $C$ es **válido** si no existe ninguna fila de la tabla donde todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Para probarlo: 1. Traducir en símbolos cada premisa y la conclusión. 2. Construir la tabla para todas las proposiciones atómicas involucradas. 3. Buscar filas donde todas las premisas sean V; si en alguna de esas filas la conclusión es F, el argumento es no válido. > Definición: Un argumento es válido cuando es imposible que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa al mismo tiempo. ### Ejemplo guiado (ejemplo clásico) Texto: 1. Si el mercurio es un metal, entonces el mercurio es un buen conductor de la electricidad. 2. El mercurio es un metal. Luego 3. El mercurio es un buen conductor de la electricidad. - Simbolización: $p$: "El mercurio es un metal"; $q$: "El mercurio es un buen conductor". Las premisas y conclusión: 1) $p \to q$ 2) $p$ Conclusión: $q$ Construcción de la tabla (resumen): - Filas: $(p,q) = (V,V),(V,F),(F,V),(F,F)$ - Valores de $p \to q$: V, F, V, V - Buscar filas donde premisas $(p \to q)$ y $p$ sean V al mismo tiempo: - Fila $(V,V)$: $p\to q$ es V, $p$ es V, conclusión $q$ es V → ok - Fila $(V,F)$: $p\to q$ es F → no cuenta porque una premisa es falsa - No existe fila con ambas premisas V y conclusión F → el argumento es **válido**. ## Ejercicios propuestos (con simbología sugerida) 1) "Si en la luna hay vida, entonces en la luna hay agua. No ocurre que en la luna hay vida. Luego no es cierto que en la luna hay agua." - Simboliza: $p$: "En la luna hay vida", $q$: "En la luna hay agua". Premisas: $p \to q$, $\lnot p$. Conclusión: $\lnot q$. Construir tabla y verificar. 2) "Los fantasmas existen o son producto de la imaginación. No es cierto que los fantasmas existen. Luego son producto de la imaginación." - Sim