Resumen de Examen de Admisión: Razonamiento Lógico

## Introducción La sección reúne problemas típicos de **Matemáticas competitivas** centrados en razonamiento de movimiento relativo, mezclas, geometría de recorridos, combinatoria y probabilidad. Aquí desglosaremos cada tipo de problema, daremos estrategias claras y ejemplos resueltos para que puedas practicar sin asistir a clases. > Definición: Las matemáticas competitivas son problemas que requieren pensamiento crítico, modelado y soluciones eficientes usando aritmética, álgebra, geometría y combinatoria. ## 1. Movimiento relativo en una pista cuadrada ### Planteamiento típico Dos corredores recorren los lados de un cuadrado en direcciones opuestas, parten desde la misma esquina y se encuentran en esquinas en distintos instantes. Si van a velocidad constante, ¿cómo hallar la razón de sus velocidades? ### Estrategia 1. Modela el perímetro del cuadrado: si el lado es $s$, el perímetro es $4s$. 2. Interpreta posiciones en función de distancia recorrida a lo largo del perímetro. 3. Usa congruencias mod $4s$ para ubicar esquinas: las esquinas están a distancias $0$, $s$, $2s$, $3s$ (mod $4s$). 4. Si las velocidades son $v_A$ y $v_T$ y parten juntos, en el tiempo $t$ sus distancias son $d_A = v_A t$ y $d_T = v_T t$. Como van en direcciones opuestas, la suma de distancias medida desde la misma esquina debe ser congruente con la posición de encuentro. Ejemplo: Si el primer encuentro ocurre en una esquina distinta de la inicial, entonces $v_A t_1 + v_T t_1 \equiv ks$ para algún entero $k$ que corresponda a la esquina alcanzada, normalmente $k=1,2,3$. Repite para el segundo encuentro con otro entero $m$. De estas dos ecuaciones se obtiene la razón $v_A/v_T$. > Definición: Movimiento relativo es analizar la posición de dos objetos comparando sus desplazamientos entre sí, usualmente restando o sumando velocidades según sentido. ### Ejemplo concreto Suponga que el primer encuentro es en la esquina vecina (distancia $s$) y el segundo en la esquina opuesta (distancia $2s$) en diferentes tiempos. Entonces $$ (v_A+v_T)t_1 = s $$ $$ (v_A+v_T)t_2 = 2s + 4n s $$ y al eliminar tiempos se deducen relaciones que llevan a la razón de velocidades. Resolver estos sistemas da el valor buscado. ## 2. Problemas de mezclas por remoción y reposición ### Planteamiento típico Un contenedor con cierta cantidad de alcohol se le extraen $x$ litros y se repone con agua; tras repetir la operación varias veces se pide el porcentaje final de alcohol. ### Estrategia general 1. Si el contenedor tiene volumen total $V$ y la fracción inicial de alcohol es $1$ (completamente alcohol), al extraer $x$ litros se conserva la fracción $\left(1-\frac{x}{V}\right)$ del alcohol original. 2. Al mezclar y volver a extraer $x$ litros, la fracción de alcohol se multiplica nuevamente por $\left(1-\frac{x}{V}\right)$ cada vez. 3. Tras $n$ operaciones la fracción final de alcohol es $\left(1-\frac{x}{V}\right)^n$ multiplicada por la fracción inicial. > Definición: En procesos repetidos de extracción y reposición homogénea, la concentración sigue una progresión geométrica con razón $\left(1-\frac{x}{V}\right)$. ### Ejemplo Contenedor $V$ litros, se extraen $a$ litros y se reemplazan con agua, repetido dos veces. Entonces la fracción final de alcohol es $$ \left(1-\frac{a}{V}\right)^2. $$ Si se pide porcentaje, multiplicar por $100$. ## 3. Recorrido de un rombo (diamante de béisbol) ### Planteamiento típico El rombo tiene lado $s$ y dos corredores recorren todo el rombo a velocidades distintas en tiempos dados. Se pide la razón porcentual entre velocidades. ### Estrategia 1. Si ambos recorren el mismo recorrido total, la velocidad media constante es $v = \frac{\text{distancia}}{\text{tiempo}}$. 2. Para comparar, la razón de velocidades es inversa a la razón de tiempos: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_1}$. 3. Para obtener porcentaje, multiplica por $100$. > Definición: Si dos personas recorren la misma distancia, la razón de sus velocidades es la inversa de la razón de sus