Resumen de Estadística Descriptiva y Matemática Financiera

## Introducción Las matemáticas financieras estudian cómo se valoran en el tiempo flujos de dinero: pagos, préstamos, inversiones y amortizaciones. Este material cubre conceptos esenciales: amortización (sistemas francés y alemán), cálculo de cuotas, interés pagado y capital amortizado, valor presente y futuro, tasas equivalentes y análisis de proyectos (VAN y TIR). Está pensado para un estudiante no presencial que necesita explicaciones claras, ejemplos prácticos y fórmulas en LaTeX. > Definición: Las matemáticas financieras son el conjunto de técnicas y fórmulas que permiten calcular el valor presente y futuro de flujos de caja, así como diseñar y analizar esquemas de pago y financiamiento. ## Conceptos básicos y notación - **Periodo**: unidad de pago (mes, semestre, año). En las fórmulas se usa $n$ para número de periodos. - **Tasa de interés**: tasa por periodo $i$. Si la tasa dada es anual y se paga mensual, conviene convertirla a tasa por periodo. - **Capital o principal**: monto inicial prestado o invertido, $P$ o $PV$. - **Cuota (renta) constante**: pago periódico igual, denotado $R$ o $A$. > Definición: Una cuota constante es un pago periódico que se mantiene igual durante todos los periodos de la operación financiera. ### Conversión de tasas - Tasa nominal anual convertible m veces: $i_{periodo}=\dfrac{i_{nominal}}{m}$. - Tasa efectiva anual a tasa efectiva por periodo: si $i_{ea}$ es anual y hay $m$ periodos por año, la tasa por periodo es $i=\left(1+i_{ea}\right)^{1/m}-1$. ## Sistema de amortización francés (cuota constante) - Fórmula de la cuota (renta) para capital $P$, tasa por periodo $i$, y $n$ periodos: $$A = P\,\dfrac{i\left(1+i\right)^{n}}{\left(1+i\right)^{n}-1}$$ - Cada cuota $A$ tiene dos componentes: interés del periodo e amortización de capital. - Interés periodo $k$: $$I_k = S_{k-1}\,i$$ donde $S_{k-1}$ es el saldo al inicio del periodo $k$. - Amortización de capital periodo $k$: $$C_k = A - I_k$$ - Saldo siguiente: $$S_k = S_{k-1} - C_k$$ Ejemplo práctico (resumen del enunciado): amortizar $P=2.000.000$ en $n=24$ meses con tasa anual $8\%$ usando sistema francés. - Convertir tasa mensual: $i=\left(1+0.08\right)^{1/12}-1$ (o si se interpreta tasa nominal: $i=0.08/12$; siempre dejar claro el supuesto en cada ejercicio). - Calcular $A$ con la fórmula anterior y construir la tabla con columnas: periodo, saldo inicial, interés, amortización de capital, cuota, saldo final. > Definición: En el sistema francés la cuota es constante y la amortización de capital aumenta con el tiempo mientras que el interés disminuye. ## Uso de funciones tipo PAGOPRIN y PAGOINT (interpretación financiera) - **PAGOINT** (interés en el periodo $k$) y **PAGOPRIN** (amortización de capital en periodo $k$) sirven para validar manualmente las componentes de la cuota. - Procedimiento para el periodo $k$: 1. Calcule $A$ con la fórmula. 2. Calcule el saldo al inicio del periodo $k$, $S_{k-1}$, usando la relación de amortizaciones anteriores o la fórmula de saldo: $$S_{k-1} = P\left(1+i\right)^{k-1} - A\,\dfrac{\left(1+i\right)^{k-1}-1}{i}$$ 3. Interés: $I_k = S_{k-1}\,i$. 4. Capital amortizado: $C_k = A - I_k$. Ejemplo solicitado: validar la cuota del periodo 6 (interés y capital) usando las fórmulas anteriores. ## Sistema alemán (cuotas variables, amortización constante) - En el sistema alemán la amortización de capital $C$ es constante: $$C = \dfrac{P}{n}$$ - Interés periodo $k$: $$I_k = S_{k-1}\,i$$ - Cuota periodo $k$: $$A_k = C + I_k$$ - El saldo disminuye linealmente: $$S_k = P - k\,C$$ Ejemplo práctico: amortizar $2.000.000$ en 24 cuotas mensuales con tasa anual $8\%$ usando sistema alemán y considerar un abono extra en el mes 6 de $500.000$. - Pasos: 1. Calcule $C=2.000.000/24$. 2. Para cada periodo calcule interés sobre el saldo vigente y la cuota $A_k$. 3. En el mes 6 aplique el abono extraordinario: reduzca el saldo inmediatamente en $500.000$ y recalcule intereses y cuotas posteriores; en el sistema