Resumen de Ejercicios de Matemática Financiera
Ejercicios de Matemática Financiera: Guía Práctica y SEO
Introducción
Las finanzas aplicadas a proyectos y créditos permiten comparar alternativas de inversión o financiamiento mediante herramientas cuantitativas como el Valor Actual Neto (VAN), la Tasa Interna de Retorno (TIR), y los cuadros de amortización. En este material veremos conceptos clave, métodos de cálculo y ejemplos prácticos extraídos de problemas reales (préstamos, compra de bienes, proyectos de inversión) que facilitan la toma de decisiones financieras.
Conceptos fundamentales
¿Qué es el VAN?
El Valor Actual Neto (VAN) es la suma de los flujos de caja descontados al momento inicial, restando la inversión inicial. Si $\text{VAN} > 0$ el proyecto agrega valor.
La fórmula general: $$\text{VAN} = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{F_t}{\left(1+i\right)^t}$$ Donde $I_0$ es la inversión inicial, $F_t$ son los flujos netos en el periodo $t$, $i$ es la tasa por periodo y $n$ la vida del proyecto.
¿Qué es la TIR?
La Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa $r$ que hace que el VAN sea cero.
Definición matemática: $$0 = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{F_t}{\left(1+r\right)^t}$$ La TIR se obtiene generalmente por métodos numéricos (búsqueda, iteración) o con una calculadora financiera.
Costo financiero de un préstamo
El costo financiero total incluye intereses, comisiones, seguros y otros gastos asociados al crédito. Se expresa como un costo efectivo anual o como monto total pagado sobre el capital prestado.
Para comparar préstamos se construye el cuadro de amortización y se calcula la suma de todos los pagos (capital, intereses, seguros, comisiones) y se expresa como TEA equivalente o como costo total.
Sistemas de amortización
| Sistema | Descripción | Característica clave |
|---|---|---|
| Sistema francés | Cuotas constantes (anual, mensual, bimestral...) | Interés decreciente, amortización creciente dentro de la cuota fija |
| Sistema alemán (alemán) | Cuotas con amortización constante | Intereses decrecientes, cuota total decreciente |
| Sistema flat | Amortizaciones periódicas constantes + intereses sobre capital original | Pago de intereses suele ser mayor al inicio |
| Cuotas crecientes | Cuotas que aumentan según un patrón preestablecido | Útil para proyectar ingresos crecientes |
Cómo convertir tasas y periodos
Para convertir una TEA a tasa por periodo de capitalización usar: $i_{periodo} = \left(1+\text{TEA}\right)^{\frac{1}{m}} - 1$, donde $m$ es el número de periodos por año.
Ejemplo: TEA 16% con capitalización bimestral ($m=6$): $$i_{bimestre} = \left(1+0.16\right)^{1/6} - 1$$
Construcción de cuadros de amortización (pasos)
- Determinar monto del préstamo $P$, plazo en periodos $n$ y tasa por periodo $i$.
- Elegir sistema de amortización.
- Calcular cuota (si aplica). En el sistema francés la cuota constante se calcula con: $$A = P \cdot \frac{i\left(1+i\right)^n}{\left(1+i\right)^n - 1}$$
- Para cada periodo, desglosar pago en interés y amortización:
- Interés periodo $t$: $I_t = S_{t-1}\cdot i$ (donde $S_{t-1}$ es el capital adeudado al inicio del periodo)
- Amortización: $Am_t = A - I_t$ (en francés)
- Saldo nuevo: $S_t = S_{t-1} - Am_t$
- Incluir gastos extras (seguros, comisiones) en las cuotas correspondientes.
Ejemplos prácticos (resúmenes y procedimientos)
Ejemplo 1: Comparación de dos bancos (resumen del problema inicial)
Banco A ofrece 4 cuotas bimestrales de $19300$, comisión mensual $42$, seguro mensual $72$ y una tasa de $360$ (a especificar: normalmente interés por periodo). Banco B ofrece 6 cuotas bimestrales de $13500$, comisión y seguro por bimestre $60$ y $75$, y una tasa de $510$.
Procedimiento para decidir:
- Aclarar la naturaleza de las "tasas" numeradas ($360$, $510$): si representan intereses totales o valores por periodo.
- Convertir todos los cargos a la misma periodicidad (por bimestre) y sumar los pagos totales por periodo.
- Construir el flujo total de pagos de cada banco y descontarlos a la TEA aplicable para comparar VAN de cada
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Finanzas: Evaluación de Proyectos
Klíčová slova: Finanzas
Klíčové pojmy: VAN calcula valor presente neto: aceptar si VAN>0, TIR es la tasa que anula el VAN; se obtiene por iteración, Convertir TEA a tasa por periodo: $i=\left(1+\text{TEA}\right)^{1/m}-1$, Cuota francés: $A=P\,\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$, En alemán la amortización es constante, cuota total decreciente, Incluir seguros, comisiones y escribanía en el periodo correcto, Usar VAN/inv. inicial para comparar proyectos de diferente tamaño, Alinear unidades temporales antes de descontar flujos, Calcular costo financiero sumando todos los pagos vs préstamo neto, Para comparación, preferir VAN frente a TIR cuando proyectos difieren