Resumen de Ecuaciones Diferenciales: Coeficientes Indeterminados

## Introducción Las ecuaciones diferenciales lineales son herramientas fundamentales para modelar fenómenos en física, ingeniería, economía y otras áreas. En esta guía veremos cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden $n$ y cómo obtener soluciones particulares para ecuaciones no homogéneas usando el método de coeficientes indeterminados y el enfoque de superposición. > Definición: Una ecuación diferencial lineal de orden $n$ con coeficientes constantes tiene la forma > $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = g(x),$$ > donde $a_i$ son constantes y $g(x)$ es la función no homogénea. ## 1. Ecuación homogénea asociada ### Paso básico Dada $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = g(x),$$ la ecuación homogénea asociada es $$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0.$$ Para resolverla se forma la ecuación característica: $$a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0.$$ ### Raíces y soluciones linealmente independientes - Si $r$ es raíz simple real, contribuye $e^{rx}$. - Si $r = \alpha \pm i\beta$ (compleja), contribuye $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ y $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$. - Si $r$ tiene multiplicidad $m$, las soluciones asociadas incluyen factores $x^k e^{rx}$ para $k=0,1,\dots,m-1$. > Definición: La solución general de la homogénea $y_c(x)$ es la combinación lineal de todas las soluciones linealmente independientes obtenidas de las raíces de la ecuación característica. ### Tabla comparativa: tipo de raíz vs. término en $y_c$ | Tipo de raíz | Raíz (r) | Términos en $y_c$ | |---|---:|---| | Real simple | $r$ | $e^{rx}$ | | Real multiplicidad $m$ | $r$ | $e^{rx},\; x e^{rx},\; \dots,\; x^{m-1} e^{rx}$ | | Compleja $\alpha\pm i\beta$ | $\alpha\pm i\beta$ | $e^{\alpha x}\cos(\beta x),\; e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ | | Compleja con multiplicidad $m$ | $\alpha\pm i\beta$ | $x^k e^{\alpha x}\cos(\beta x),\; x^k e^{\alpha x}\sin(\beta x)$, $k=0,\dots,m-1$ | ## 2. Método de coeficientes indeterminados (enfoque de superposición) Este método se usa para hallar una solución particular $y_p(x)$ cuando $g(x)$ pertenece a una clase de funciones: polinomios, exponenciales, senos/cosenos o combinaciones de éstas. > Definición: El método de coeficientes indeterminados propone una forma para $y_p(x)$ con coeficientes desconocidos, se sustituye en la ecuación y se eligen los coeficientes igualando términos. ### Pasos generales 1. Obtener $y_c(x)$ resolviendo la homogénea. 2. Proponer una forma para $y_p(x)$ basada en $g(x)$. 3. Si alguna función propuesta ya aparece en $y_c(x)$, multiplicar la propuesta por la mínima potencia de $x$ necesaria (por ejemplo $x$, $x^2$, ...) hasta que no haya duplicidad. 4. Sustituir $y_p$ en la ecuación y determinar los coeficientes comparando términos. 5. La solución general es $y(x) = y_c(x) + y_p(x)$. ### Casos típicos para proponer $y_p(x)$ - Si $g(x)$ es un polinomio de grado $n$: proponer un polinomio de grado $n$ con coeficientes indeterminados. - Si $g(x)=e^{ax}P(x)$ donde $P(x)$ es un polinomio: proponer $e^{ax}$ por un polinomio de la misma forma. - Si $g(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ o $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$: proponer $e^{\alpha x}(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x))$. ### Caso especial: superposición por coincidencia con $y_c$ - Si la forma propuesta para $y_p$ comparte funciones con $y_c$, multiplicar por $x^s$ donde $s$ es la multiplicidad mínima que anula la coincidencia. > Ejemplo conceptual: Si $y_c$ contiene $\cos x$ y $\sin x$ y $g(x)=\sin x$, la propuesta $A\sin x + B\cos x$ debe multiplicarse por $x$, es decir $y_p = x(A\sin x + B\cos x)$. ## 3. Ejemplo desarrollado (resumen del procedimiento) Problema: Resolver $$y'' + y = \sin x.$$ 1) Ecuación homogénea asociada: $$y'' + y = 0.$$ Ecuación característica $$r^2 + 1 = 0$$ con raíces $r=\pm i$. Entonces $$y_c = C_1 \cos x + C_2 \sin x.$$ 2) Propuesta inicial para $y_p$ por la forma de $g(x)=\sin x$ sería $