Resumen de Ecuaciones Cuadráticas: Conceptos y Solución

## Introducción Las ecuaciones cuadráticas son igualdades de la forma $$ax^2 + bx + c = 0$$ donde $a$, $b$, $c \\in \mathbb{R}$ y $a \neq 0$. Se usan para modelar muchos problemas reales como trayectorias parabólicas, áreas y optimización simple. > Definición: Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) es cualquier ecuación que puede escribirse como $$ax^2 + bx + c = 0$$ con $a \neq 0$. ## Componentes y concepto clave - Coeficientes: $a$, $b$, $c$ (son números reales). - Término cuadrático: $ax^2$. - Término lineal: $bx$. - Término independiente: $c$. > Observación: El discriminante de la ecuación cuadrática es $$\Delta = b^2 - 4ac$$ y determina la cantidad y tipo de soluciones. ## Casos según el discriminante | Valor de $$\Delta$$ | Número de raíces reales | Interpretación geométrica | | --- | ---: | --- | | $$\Delta > 0$$ | 2 raíces reales distintas | La parábola corta al eje $x$ en dos puntos | | $$\Delta = 0$$ | 1 raíz real (doble) | La parábola toca al eje $x$ en un solo punto | | $$\Delta < 0$$ | 0 raíces reales | La parábola no corta al eje $x$ | ## Resolución de ecuaciones cuadráticas ### 1) Fórmula general > La solución de $$ax^2 + bx + c = 0$$ es $$x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$ con $$\Delta = b^2 - 4ac$$. Ejemplo práctico: Resolver $$x^2 - 5x - 14 = 0$$ usando la fórmula. Identificamos $a = 1$, $b = -5$, $c = -14$. Calculamos $$\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$$. Luego $$x = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2\cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2$$ $$x = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2\cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$$ Solución: $S = \{-2,\;7\}$. ### 2) Factorización Si el trinomio se factoriza como $a(x - x_1)(x - x_2)$, entonces las raíces son $x_1$ y $x_2$. Ejemplo: $$x^2 - 5x - 14 = (x + 2)(x - 7)$$ da raíces $-2$ y $7$. ### 3) Reducción y manipulación algebraica Algunas ecuaciones requieren reordenar o eliminar denominadores para reducirlas a una cuadrática, por ejemplo: $$\frac{2x}{x-1} = x+1$$ o $$\frac{x}{x+1} = \frac{x}{2x-1}$$. Siempre verificar las restricciones del dominio (puntos que hacen denominador cero). ## Ejemplos desarrollados 1) Calcular el discriminante de $$-2(3 - x)^2 = (2x - 1)(x + 4)$$. Primero expandimos y llevamos todo a la forma $ax^2 + bx + c = 0$: $$-2(9 - 6x + x^2) = 2x^2 + 7x - 4$$ $$-18 + 12x - 2x^2 = 2x^2 + 7x - 4$$ $$-4x^2 + 5x - 14 = 0$$ multiplicando por $-1$: $$4x^2 - 5x + 14 = 0$$ Luego $$\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 4 \cdot 14 = 25 - 224 = -199$$, por lo que no hay soluciones reales. 2) Actividad tipo parámetro: Para $$2x^2 + mx + 2 = 0$$ - a) Si $x = -\frac{1}{2}$ es solución, sustituimos: $$2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + m\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = 0$$ que da $$\frac{1}{2} - \frac{m}{2} + 2 = 0$$, por tanto $$\frac{5}{2} - \frac{m}{2} = 0$$ y $$m = 5$$. - b) Para $m = -7$ resolvemos $$2x^2 -7x + 2 = 0$$ con $$\Delta = (-7)^2 - 4\cdot 2 \cdot 2 = 49 - 16 = 33$$ y $$x = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{4}$$ Solución: $$S = \left\{\frac{7 - \sqrt{33}}{4},\;\frac{7 + \sqrt{33}}{4}\right\}$$. - c) Para que haya una única solución real requerimos $$\Delta = 0$$, es decir $$m^2 - 4\cdot 2 \cdot 2 = 0$$ $$m^2 - 16 = 0$$ $$m = \pm 4$$, solución final $m \in \{-4,\;4\}$. ## Aplicaciones reales - Física: movimiento parabólico de proyectiles modelado por funciones cuadráticas. - Ingeniería: diseño de reflectores parabólicos y antenas. - Economía: visión simple de costos y beneficios cuando aparecen términos cuadráticos. Did you know que la parábola es la intersección de un plano con un cono y tiene la propiedad geométrica de que los rayos procedentes de un foco se reflejan en una directriz paralela al eje? Fun fact: Resolver una cuadrática tiene equivalencia geométrica inmediata: encontrar las intersecciones entre la parábola $y = ax^2 + bx + c$ y el eje $x$. ## Estrategia de resolución (pasos prácticos) 1. Llevar la ecuación a la forma $$ax^2 + bx + c = 0$$. 2. Calcular $$\Delta = b^2 - 4ac$$. 3. Analizar $$\Delta$$: d