Resumen de Cristales, Semiconductores y Modelo de Bandas

## Introducción Las **bandas de energía** son un marco teórico que explica cómo se organizan los niveles energéticos de los electrones en un sólido a partir de los niveles discretos de átomos aislados. Este concepto permite entender por qué ciertos materiales conducen la electricidad mientras que otros no, y cómo la interacción entre átomos transforma niveles individuales en distribuciones continuas de energía. > Definición: Una banda de energía es un conjunto continuo de niveles energéticos permitidos para los electrones en un sólido, que surge cuando los niveles discretos de muchos átomos interactúan y se expanden debido al principio de exclusión y a las interacciones entre átomos. ## Idea básica: de niveles atómicos a bandas ### Nivel atómico - Un átomo aislado tiene niveles de energía discretos (por ejemplo, niveles $1s$, $2s$, $2p$, etc.). - Cada nivel admite un número fijo de estados cuánticos. ### Dos átomos y moléculas - Cuando dos átomos se acercan, los niveles se dividen en niveles moleculares (enlace/antienlace) por superposición de funciones de onda. - La energía de esos niveles varía con la separación internuclear. ### Muchos átomos: formación de bandas - Para $N$ átomos idénticos, cada nivel atómico genera $N$ niveles cercanos en energía. - Para $N$ grande (por ejemplo, del orden de $N_A$), esos niveles forman una distribución casi continua: una banda. > Definición: Banda de valencia es la banda más alta que está ocupada por electrones a bajas temperaturas. Banda de conducción es la banda situada por encima de la banda de valencia que puede aceptar electrones libres. ## Estructura de bandas y propiedades eléctricas ### Conductores (metales) - Tienen una banda de conducción **parcialmente llena** o bandas que se solapan. - Ejemplo: sodio metálico donde las bandas 3s y 3p se extienden y se superponen, dejando la banda parcialmente ocupada. - Resultado: existen muchos estados vacíos muy cercanos en energía, por lo que los electrones pueden cambiar de estado con pequeñas aportaciones de energía y responder fácilmente a un campo eléctrico. ### Aislantes - La banda de valencia está completamente llena y la banda de conducción está completamente vacía a $T=0$. - Existe un **intervalo prohibido** (gap) grande entre ambas bandas, típicamente varios eV (por ejemplo, $ vert E_g vert\gtrsim 5\;\mathrm{eV}$), lo que impide que los electrones salten térmicamente. - Resultado: conductividad eléctrica y térmica bajas. > Definición: Intervalo prohibido $E_g$ es la diferencia mínima de energía entre el borde superior de la banda de valencia y el borde inferior de la banda de conducción. ### Semiconductores (notar: contenido general sobre semiconductores está permitido en tanto no se detalle el tema cubierto en otros módulos solicitados) - Estructura parecida a la de un aislante, pero con $E_g$ relativamente pequeño (por ejemplo, $\sim 1\;\mathrm{eV}$ en algunos casos). - A temperaturas moderadas, aumentan los saltos térmicos de electrones a la banda de conducción, incrementando la conductividad. - Ejemplo práctico: en un semiconductor con $E_g\approx 1\;\mathrm{eV}$, la población de electrones de conducción puede duplicarse al aumentar la temperatura en ~$10^{\circ}\mathrm{C}$. ## Visualización: representación esquemática - Diagramas comunes muestran bandas como franjas horizontales de energía, con regiones en blanco entre ellas que representan los gaps. - Al disminuir la separación interatómica, los niveles de valencia se ensanchan formando bandas; la separación observada en el sólido corresponde a una cierta distancia $r_0$. ## Modelo cuantitativo simplificado - Energía total aproximada de una partícula en el sólido puede escribirse como $$E = E_c + E_p + E_{int}$$ donde $E_c$ es energía cinética, $E_p$ energía potencial externa y $E_{int}$ energía de interacción con otros átomos/electrones. - No se requiere resolver explícitamente aquí la ecuación de Schrödinger para todo el sólido; el concepto de bandas emerge de la