Resumen de Continuidad y Límites de Funciones

## Introducción La continuidad es una propiedad fundamental de las funciones que describe si su gráfica presenta o no interrupciones en un punto o en todo su dominio. Estudiaremos qué significa que una función sea continua, cómo identificar y clasificar discontinuidades y cómo usar límites para analizar el comportamiento cerca de un punto. ## Conceptos básicos ### Dominio y gráfica - El **dominio** de una función son los valores de $x$ donde la función está definida. - La **gráfica** muestra cómo cambia $f(x)$ con $x$. Si la gráfica no tiene interrupciones se dice que la función es continua (en ese tramo). > **Definición:** Una función es **continua en $x=a$** si su gráfica no presenta interrupciones en ese punto y los valores de la función en la vecindad de $a$ se aproximan a un único valor. ### Intuición con imágenes - Gráfica sin interrupciones: continua. - Gráfica con puntos separados o saltos: discontinua. ## Límite: la herramienta esencial > **Definición:** El **límite** estudia el comportamiento de $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a un punto $a$, sin importar el valor de $f(a)$. Formalmente: $$\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \text{tal que} \; \forall x:\left[x \in D,\; 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\right]$$ - El objetivo es conocer el comportamiento de la función cerca de $x=a$. ## Continuidad en términos de límites Una función $f$ es continua en $x=a$ si se cumplen las tres condiciones: 1. $f(a)$ está definida. 2. $\lim_{x\to a} f(x)$ existe (es finito). 3. $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Si alguna falla, la función es discontinua en $a$. > **Definición:** Una **discontinuidad** es una interrupción en la gráfica de una función en un punto del dominio o del cierre del dominio. ## Cálculo práctico: pasos para estudiar continuidad en $x=a$ 1. Evaluar directamente $f(a)$. - Si $f(a)$ es un número real y la expresión permite evaluarlo sin indeterminación, comprobar si coincide con el límite. 2. Si al evaluar aparece una indeterminación, calcular los **límites laterales**: - Límite lateral derecho: $$\lim_{x\to a^{+}} f(x)$$ - Límite lateral izquierdo: $$\lim_{x\to a^{-}} f(x)$$ 3. Interpretar los resultados para clasificar la discontinuidad. ### Límites laterales - Para $x>a$ usamos $f(a+\Delta x)$ y tomamos $\Delta x \to 0^{+}$. - Para $x<a$ usamos $f(a-\Delta x)$ y tomamos $\Delta x \to 0^{+}$. Si ambos límites laterales existen y son iguales, entonces $\lim_{x\to a} f(x)$ existe y es ese valor. ## Clasificación de discontinuidades Usando los límites laterales podemos clasificar: | Tipo | Condición en límites laterales | Características | ¿Evitable? | |---|---:|---|:---:| | Evitable | $\lim_{x\to a^{-}} f(x) = \lim_{x\to a^{+}} f(x) = L$, pero $f(a)$ no definido o $f(a) \neq L$ | Agujero en la gráfica o valor incorrecto en $a$ | Sí | | Primera especie (salto finito) | Límites laterales finitos pero diferentes | Salto vertical en la gráfica | No | | Primera especie (salto infinito / asintótica) | Al menos uno de los límites laterales es $\pm\infty$ | Comportamiento asintótico, vertical | No | > **Definición (evitable):** $f$ tiene una discontinuidad evitable en $a$ si $\lim_{x\to a} f(x)=L$ existe pero $f(a)$ no está definido o $f(a)\neq L$. > **Definición (no evitable, 1ª especie):** $f$ tiene discontinuidad no evitable de primera especie en $a$ si los límites laterales son finitos pero distintos. ## Métodos para calcular límites (resumen práctico) - Simplificación algebraica: factorizar, cancelar factores comunes. - Límits notables: usar límites estándar (por ejemplo, $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$). - Regla de L'Hôpital: cuando la forma es $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, derivar numerador y denominador (si cumple hipótesis). Nota: aplicar un método de cálculo no convierte una discontinuidad en continua; solo permite identificar su tipo y el valor del límite. ## Ejemplos prácticos ### Ejemplo 1: dis