Resumen de Conceptos Fundamentales de Números Reales
Conceptos Fundamentales de Números Reales: Guía Completa
Introducción
Las operaciones con números reales y el manejo de porcentajes son herramientas básicas en aritmética que se aplican en compras, descuentos, ciencias y problemas cotidianos. En este material revisaremos los conjuntos de números reales, números irracionales, porcentajes, descuentos y recargos, notación científica y reglas de redondeo, con ejemplos y aplicaciones prácticas.
## Conjuntos de los números reales
Los números reales forman el conjunto $\mathbb{R}$ que incluye números racionales e irracionales. Se puede representar de varias formas:
Definición: Un número real es cualquier valor que puede ubicarse en la recta numérica; incluye enteros, fracciones y decimales finitos o infinitos no periódicos.
Formas de representar un conjunto
- Lenguaje coloquial: "Todos los números menores que 7"
- Lenguaje simbólico: $x<7$
- Intervalo: $(-\infty;7)$
- Recta numérica: marca los puntos correspondientes
| Descripción | Lenguaje simbólico | Intervalo | Ejemplo en la recta numérica |
|---|---|---|---|
| Números menores que 7 | $x<7$ | $(-\infty;7)$ | Todos los puntos a la izquierda de 7 |
| Números entre $-3$ y $5$ incluidos | $-3\le x\le 5$ | $[-3;5]$ | Segmento entre $-3$ y $5$ |
Números irracionales
Definición: Un número irracional no puede expresarse como una fracción $\frac{p}{q}$ con enteros $p,q$ y tiene una expansión decimal no periódica.
- Ejemplo clásico: $$\sqrt{2} \approx 1,41421356\ldots$$
- Propiedades: no se repiten patrones periódicos en su parte decimal y no se pueden escribir exactamente como fracciones.
Práctico: La diagonal de un cuadrado de lado 1 tiene longitud $\sqrt{2}$, que es irracional.
Porcentajes: concepto y cálculo
Definición: Un porcentaje representa una fracción con denominador 100; el $A%$ de una cantidad $B$ es $\dfrac{A}{100}\cdot B$.
Fórmula básica: $$\text{Porcentaje }A%\text{ de }B = \dfrac{A}{100}\cdot B$$
Ejemplo: Calcular el $5%$ de $60$: $$\dfrac{5}{100}\cdot 60 = 0{,}05\cdot 60 = 3$$
Descuentos y recargos (aumentos)
- Descuento del $p%$ en $C$: cantidad final $= C\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$
- Recargo del $p%$ en $C$: cantidad final $= C\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$
Ejemplos:
- $5%$ de descuento sobre $$1200$: $$1200\left(1-\dfrac{5}{100}\right)=1200\cdot 0{,}95=$1140$$
- $15%$ de recargo sobre $$580$: $$580\left(1+\dfrac{15}{100}\right)=580\cdot 1{,}15=$667$$
Aplicación real: calcular el precio final en rebajas o el costo con impuestos.
Notación científica
Definición: Un número está en notación científica si se escribe como $m\cdot 10^{n}$ con $1\le |m|<10$ y $n$ entero.
Ejemplos: $$0{,}000012 = 1{,}2\cdot 10^{-5}$$ $$125000000 = 1{,}25\cdot 10^{8}$$
Ejercicios tipo:
- Convertir $2\cdot 10^{-27}$ a notación con un único coeficiente entre 1 y 10 es ya correcto.
- Sumar o restar potencias de 10 requiere ajustar los exponentes para tener la misma potencia antes de operar.
Redondeo y truncamiento
Definición: Truncar es cortar la expansión decimal dejando cierto número de cifras sin ajustar; redondear es ajustar la última cifra conservada según la siguiente cifra descartada.
Reglas de redondeo comunes:
- Si la primera cifra descartada es $\ge 5$, aumentar en 1 la última cifra conservada.
- Si es $<5$, dejar la última cifra conservada igual.
Ejemplo: Redondear $T\approx 1{,}297$ a dos cifras decimales:
- Primera cifra descartada es 7 ($\ge 5$), entonces $T\approx 1{,}30$ (conservar dos decimales).
Aplicación: presentar resultados en física, finanzas o estadísticas con la precisión adecuada.
Ejercicios resueltos (paso a paso)
- Calcular $25%$ de $$600$ (descuento): $$600\left(1-\dfrac{25}{100}\right)
Zaregistruj se pro celé shrnutí¿Ya tienes cuenta? Iniciar sesión
Números reales y porcentajes
Klíčové pojmy: Los números reales $\mathbb{R}$ incluyen racionales e irracionales, Un número irracional no puede escribirse como $\dfrac{p}{q}$ y tiene decimales no periódicos, Porcentaje: $A\%$ de $B$ es $\dfrac{A}{100}\cdot B$, Descuento: precio final $=C\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$, Recargo: precio final $=C\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$, Notación científica: $m\cdot 10^{n}$ con $1\le |m|<10$, Redondeo: si la primera cifra descartada $\ge 5$, aumente la última cifra conservada, Truncamiento: cortar decimales sin ajustar la última cifra conservada, Convertir números pequeños a notación científica facilita cálculos con órdenes de magnitud, Entre dos reales siempre existe un racional (densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$)