Resumen de Conceptos Fundamentales de Matemáticas

## Introducción La proporcionalidad y los porcentajes son herramientas matemáticas que ayudan a comparar cantidades, resolver problemas de escalas y calcular variaciones relativas en la vida diaria. En este material veremos conceptos, reglas, ejemplos prácticos y aplicaciones reales para entender cuándo y cómo usar cada técnica. > **Definición:** La proporcionalidad es la relación entre dos o más magnitudes que varían manteniendo una razón constante. ## Proporcionalidad ### Tipos de proporcionalidad - **Proporcionalidad directa:** al aumentar una magnitud, la otra también aumenta en la misma proporción. > **Definición:** Dos magnitudes $x$ e $y$ son proporcionalmente directas si se cumple que la razón $\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_1}{x_2}$ para valores correspondientes. Ejemplo práctico: $$\frac{200}{5} = \frac{x}{8}$$ Resolver: $$x = \frac{200 \cdot 8}{5}$$ $$x = 320$$ Aplicación real: calcular precios al comprar más unidades, recetas que se escalan, etc. - **Proporcionalidad inversa:** al aumentar una magnitud, la otra disminuye en la misma proporción. > **Definición:** Dos magnitudes $x$ e $y$ son proporcionalmente inversas si se cumple que $y_1 x_1 = y_2 x_2$ para valores correspondientes. Ejemplo práctico: 10 obreros hacen una obra en 15 días. ¿Cuántos días tardan 6 obreros? $$10 \cdot 15 = 6 \cdot x$$ $$x = \frac{150}{6}$$ $$x = 25 \text{ días}$$ Aplicación real: reparto de trabajo, velocidad y tiempo con una cantidad fija de trabajo. ### Comparación rápida | Característica | Proporcionalidad directa | Proporcionalidad inversa | | --- | --- | --- | | Relación entre magnitudes | Ambas aumentan o disminuyen juntas | Una aumenta y la otra disminuye | | Ecuación típica | $\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_1}{x_2}$ | $y_1 x_1 = y_2 x_2$ | | Ejemplo típico | Precio y cantidad comprada (mismo producto) | Obreros y días para una obra | Did you know que muchos problemas de física básica, como ley de Hooke en su forma lineal o la ley de Ohm para resistencias en serie simple, pueden analizarse mediante proporciones? ## Porcentajes > **Definición:** El porcentaje expresa una cantidad como una fracción de 100. Se usa para comparar partes respecto a un todo. Fórmula básica: $$\% = \left( \frac{\text{parte}}{\text{total}} \right) \times 100$$ Cálculos comunes: - Porcentaje de una cantidad: $P\%$ de $N = \dfrac{p}{100} \times N$ - Aumento porcentual: Nuevo = Original + $\left(\dfrac{p}{100} \times \text{Original}\right)$ - Disminución porcentual: Nuevo = Original - $\left(\dfrac{p}{100} \times \text{Original}\right)$ Ejemplos: 1) ¿Cuál es el 25% de 240? $$\frac{25}{100} \times 240 = 60$$ 2) Un producto cuesta $800$ y tiene 15% de descuento. Descuento: $$\frac{15}{100} \times 800 = 120$$ Precio final: $$800 - 120 = 680$$ 3) Un sueldo de $500{.}000$ aumenta 10%. Aumento: $$\frac{10}{100} \times 500{.}000 = 50{.}000$$ Nuevo sueldo: $$500{.}000 + 50{.}000 = 550{.}000$$ ### Porcentajes compuestos Cuando se aplican varios porcentajes seguidos, se calculan uno a uno sobre el valor resultante. Ejemplo: aumento 10% y luego descuento 20% sobre el nuevo valor. Did you know que aplicar dos porcentajes sucesivos del mismo valor no equivale a aplicar el doble del porcentaje, por ejemplo aumentar 10% y luego 10% resulta en aproximadamente 21% de aumento total? ## Fracciones (repaso aplicado a porcentajes y proporciones) > **Definición:** Una fracción representa una parte de un todo o de una cantidad. Operaciones básicas: - Suma/resta: si tienen mismo denominador se suman numeradores; si no, buscar común denominador. - Multiplicación: multiplicar numeradores y denominadores. - División: multiplicar por el inverso de la segunda fracción. - Simplificación: dividir numerador y denominador por su MCD. Ejemplo suma con distinto denominador: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ Ejemplo multiplicación: $$\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$ Aplicación: convertir porcentajes