Resumen de Conceptos Fundamentales de Álgebra

## Introducción Los **números complejos** amplían el conjunto de los reales mediante la unidad imaginaria $i$, definida por $i^2 = -1$. Surgen como soluciones de ecuaciones cuadráticas cuyo discriminante es negativo y permiten resolver problemas donde los reales no bastan. > **Definición:** Un número complejo es de la forma $z = a + bi$, donde $a$, $b$ son números reales y $i^2 = -1$. ## 1. Componentes y notación ### Parte real y parte imaginaria - Para $z = a + bi$: la **parte real** es $\operatorname{Re}(z) = a$ y la **parte imaginaria** es $\operatorname{Im}(z) = b$. - Si $b = 0$, $z$ es un número real. Si $a = 0$ y $b \neq 0$, $z$ es imaginario puro. ### Conjugado complejo > **Definición:** El conjugado de $z = a + bi$ es $\overline{z} = a - bi$. - Producto con el conjugado da un real: $$z\overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$$ ## 2. Forma polar y forma exponencial ### Módulo y argumento - **Módulo:** $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. - **Argumento:** $\arg(z)$ es el ángulo $\theta$ tal que $a = |z|\cos\theta$, $b = |z|\sin\theta$. > **Definición:** La forma polar de $z$ es $z = |z|\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$. ### Fórmula de Euler - La forma exponencial es $$z = |z|e^{i\theta}$$ usando la identidad de Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. ## 3. Operaciones básicas ### Suma y resta - Sumar término a término: $$(a+bi)+(c+di) = (a+c)+i(b+d).$$ ### Producto - Multiplicación: $$(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+i(ad+bc).$$ - En forma polar: $$|z_1z_2| = |z_1||z_2|,\quad \arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2).$$ ### División - Dividir usando el conjugado: $$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.$$ - En forma exponencial: $$\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}.$$ ## 4. Potencias y raíces ### Potencias (fórmula de De Moivre) - Para entero $n$: $$\left(r e^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}.$$ ### Raíces n-ésimas - Las $n$ raíces de $z = r e^{i\theta}$ son $$w_k = r^{1/n} e^{i\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)}\quad\text{para }k=0,1,\dots,n-1.$$ ## 5. Representación geométrica - El plano complejo identifica $z = a+bi$ con el punto $(a,b)$. - El módulo es la distancia al origen y el argumento es el ángulo desde el eje real positivo. Tabla comparativa: forma algebraica vs forma polar | Característica | Forma algebraica | Forma polar/exponencial | |---|---:|---:| | Expresión | $a+bi$ | $|z|(\cos\theta + i\sin\theta)$, $|z|e^{i\theta}$ | | Módulo | $\sqrt{a^2+b^2}$ | $|z|$ | | Argumento | implícito | $\theta = \arg(z)$ | | Producto | operar componentes | multiplicar módulos y sumar argumentos | | División | usar conjugado | dividir módulos y restar argumentos | ## 6. Aplicaciones prácticas - Ingeniería eléctrica: corrientes y tensiones en fasores usan números complejos $V = |V|e^{i\theta}$. - Señales y sistemas: representación de señales periódicas con expoenciales complejas. - Ec. diferenciales y control: polinomios con raíces complejas indican oscilaciones. - Física cuántica: amplitudes de probabilidad son números complejos. ¿Sabías que las ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo tienen soluciones complejas que permiten describir oscilaciones y fases en física y ingeniería? Fun fact: La identidad de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$ relaciona cinco constantes matemáticas fundamentales en una sola ecuación compacta. ## 7. Ejemplos resueltos 1) Suma y producto - Sea $z_1 = 3+2i$, $z_2 = 1-4i$. Suma: $$z_1+z_2 = 4-2i.$$ Producto: $$z_1 z_2 = (3)(1)-(2)(-4) + i(3(-4)+2(1)) = 11 -10i.$$ 2) División - $$\frac{3+2i}{1-4i} = \frac{(3+2i)(1+4i)}{1^2+(-4)^2} = \frac{3+12i+2i+8i^2}{17} = \frac{-5+14i}{17}.$$ 3) Raíces - Raíces cuadradas de $-1$: $-1 = 1\cdot e^{i\pi}$, entonces $$w_k = e^{i\left(\frac{\pi+2\pi k}{2}\right)} = e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)}$$ que dan $i$ y $-i$.