# Introducción Las Matemáticas escolares cubren conceptos básicos y herramientas que se usan con frecuencia en ciencias e ingeniería. En este material repasaremos funciones lineales, factorización de polinomios, resolución de ecuaciones y sistemas básicos (sin entrar en Álgebra lineal ni en métodos avanzados de sistemas), y operaciones elementales con matrices a nivel introductorio. El objetivo es ofrecer explicaciones claras, ejemplos prácticos y aplicaciones reales para un estudiante universitario. ## Contenidos principales - Función lineal - Factorización de polinomios cuadráticos - Ecuaciones de primer grado y su resolución - Sistemas sencillos de dos ecuaciones (método de sustitución/eliminación, sin desarrollar teoría de sistemas lineales avanzada) - Operaciones elementales con matrices (definición, suma, multiplicación por escalar) > Definición: Una *función lineal* en forma pendiente-intersección es una función dada por $y = mx + b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen. ## Función lineal ### Concepto y parámetros - **Pendiente** $m$ indica la inclinación de la recta: si $m>0$ la recta sube; si $m<0$ la recta baja; si $m=0$ la recta es horizontal. - **Ordenada al origen** $b$ es el valor de $y$ cuando $x=0$. > Ejemplo: La recta $y = 2x - 1$ tiene pendiente $m = 2$ y ordenada al origen $b = -1$. Para $x = 3$ se obtiene $y = 2(3) - 1 = 5$. ### Interpretación geométrica y aplicación - Interpretación: la pendiente $m$ es la razón de cambio $\Delta y / \Delta x$. - Aplicación real: si un artículo cuesta $b$ dólares de base y el precio aumenta $m$ dólares por unidad producida, el costo total para producir $x$ unidades se modela por $y = mx + b$. Did you know que las funciones lineales representan primeros aproximaciones de funciones más complejas cerca de un punto mediante la derivada? Esto es la base del análisis local en cálculo. ## Factorización de polinomios cuadráticos ### Objetivo Descomponer trinomios de la forma $ax^{2} + bx + c$ en el producto de dos binomios cuando sea posible. > Definición: Factorizar significa escribir un polinomio como producto de polinomios de grado menor. ### Método por agrupación y búsqueda de factores 1. Para $ax^{2} + bx + c$ buscar dos números $p$ y $q$ tales que $p q = ac$ y $p + q = b$. 2. Reescribir $bx$ como $p x + q x$ y agrupar para factorizar por pares. > Ejemplo resuelto: Factorizar $20x^{2} + 7x - 6$. Se busca $p$ y $q$ con $p q = 20 \times (-6) = -120$ y $p + q = 7$. Los números $15$ y $-8$ cumplen: $15 \times (-8) = -120$ y $15 + (-8) = 7$. Descomposición: $$20x^{2} + 7x - 6 = 20x^{2} + 15x - 8x - 6$$ Agrupando: $$\left(20x^{2} + 15x\right) + \left(-8x - 6\right)$$ Factorizando cada grupo: $$5x\left(4x + 3\right) -2\left(4x + 3\right)$$ Factor común: $$\left(4x + 3\right)\left(5x - 2\right)$$ Por tanto: $$20x^{2} + 7x - 6 = \left(4x + 3\right)\left(5x - 2\right)$$ ### Consejo práctico - Si $a\neq 1$, usar la técnica $ac$-método o prueba y error con factores de $a$ y $c$. - Verifica multiplicando los binomios para recuperar el trinomio original. Fun fact: Muchas ecuaciones cuadráticas en física (por ejemplo, movimiento uniformemente acelerado) se resuelven primero factorando o usando la fórmula cuadrática para obtener tiempos o posiciones exactas. ## Ecuaciones de primer grado ### Definición y resolución - Una ecuación de primer grado en $x$ tiene la forma $ax + b = 0$ con $a\neq 0$. - Solución: despejar $x$ aislando términos. > Ejemplo: Resolver $5x + 2 = 17$. Restar 2: $$5x = 15$$ Dividir entre 5: $$x = 3$$ > Definición: El grado de una ecuación es el mayor exponente de la(s) incógnita(s). Las ecuaciones de grado 1 son lineales. ### Aplicaciones - Cálculo de precios, balances sencillos, conversiones y problemas de mezcla básicos. ## Sistemas sencillos de dos ecuaciones (repaso práctico) Nota: No se desarrolla teoría de Álgebra lineal ni operaciones matriciales avanzadas aquí. ### Método de eliminación (ejemplo práctico) Dado el sistema: