Resumen de Cinemática: Movimiento Rectilíneo y Circular

## Introducción La cinemática de movimientos especiales estudia casos particulares de movimiento que aparecen con frecuencia en ingeniería y ciencias: el tiro parabólico (proyectiles), el movimiento circular uniforme (MCU) y sus magnitudes asociadas. Aquí trabajaremos con campos gravitatorios uniformes y con aceleraciones constantes en un eje, aplicando descomposición vectorial y análisis por ejes para resolver problemas prácticos. > Definición: La cinemática es la rama de la física que describe el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas (fuerzas) que lo producen. ## 1. Movimiento parabólico (tiro oblicuo) ### Concepto básico Al lanzar un objeto con velocidad inicial que forma un ángulo con la horizontal, su trayectoria, en presencia de gravedad uniforme, es una parábola. El movimiento se descompone en dos movimientos independientes: horizontal (MRU) y vertical (MRUA). > Definición: Movimiento parabólico es el movimiento de un proyectil bajo la única aceleración de la gravedad, con trayectoria parabólica en un campo gravitatorio uniforme. ### Descomposición de la velocidad inicial Si la velocidad inicial tiene magnitud $v_0$ y forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, las componentes son: $$v_{0x} = v_0\cos\theta$$ $$v_{0y} = v_0\sin\theta$$ ### Ecuaciones por eje - Eje horizontal (MRU): $$x(t) = x_0 + v_{0x} t$$ - Eje vertical (MRUA, aceleración $-g$): $$y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$$ - Velocidad vertical: $$v_y(t) = v_{0y} - g t$$ ### Alcance, altura máxima y tiempo de vuelo (caso $y_0=0$) - Tiempo de vuelo: $$T = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$$ - Alcance horizontal: $$R = v_{0x} T = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$ - Altura máxima: $$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$$ ### Ecuación de la trayectoria (itinerario) Eliminando $t$ entre $x(t)$ y $y(t)$ para $x_0=0$, $y_0=0$: $$y(x) = x\tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}$$ ### Ejemplo práctico Un proyectil se lanza con $v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$ y $\theta = 30^{\circ}$ desde el suelo ($y_0=0$). Calcular $T$, $R$ y $H$ (usar $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$). 1) $T = \dfrac{2(20)\sin 30^{\circ}}{9.81} = \dfrac{40(0.5)}{9.81} = \dfrac{20}{9.81}\ \mathrm{s}$ 2) $R = \dfrac{(20)^2 \sin 60^{\circ}}{9.81} = \dfrac{400(\sqrt{3}/2)}{9.81}$ 3) $H = \dfrac{(20)^2 \sin^2 30^{\circ}}{2(9.81)} = \dfrac{400(0.25)}{19.62}$ ### Aplicaciones reales - Balística y disparos deportivos - Diseño de rampas y lanzamientos en ingeniería - Análisis de trayectoria de gotas o partículas en procesos industriales ¿Sabías que la fórmula del alcance $R = \dfrac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ muestra que el ángulo óptimo para máxima distancia, sin altura inicial, es $\theta=45^{\circ}$? Esta simetría se debe a la relación trigonométrica de la función seno de doble ángulo. ## 2. Movimiento Circunferencial Uniforme (MCU) ### Concepto básico En MCU un cuerpo recorre una circunferencia con rapidez constante $v$; aunque la rapidez es constante, la dirección de la velocidad cambia continuamente, lo que implica aceleración centrípeta hacia el centro. > Definición: Movimiento Circunferencial Uniforme es el movimiento a rapidez constante sobre una trayectoria circular, caracterizado por una velocidad tangencial y una aceleración centrípeta radial. ### Magnitudes angulares y temporales - Posición angular: $\theta(t)$ - Velocidad angular constante: $\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$ - Relación entre velocidad tangencial y angular: $$v = r\omega$$ - Período y frecuencia: $$T_{period} = \frac{2\pi}{\omega},\quad f = \frac{1}{T_{period}} = \frac{\omega}{2\pi}$$ ### Aceleración centrípeta La magnitud de la aceleración centrípeta es: $$a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$$ La dirección siempre apunta hacia el centro de la circunferencia. ### Fuerza centrípeta (ley de Newton en radial) Si una fuerza neta $F_c$ causa la aceleración centrípeta: $$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{r} = m r \omega^2$$ ### Ejemplo práctico Una rueda de radio $r=0.5\ \mathrm{m}$ gira con velocidad