Resumen de Cinemática: Conceptos de Tasa de Cambio

## Introducción En este material estudiamos las razones de cambio aplicadas al movimiento y a situaciones cotidianas relacionadas con distancia, tiempo y cantidades consumidas. Aunque el tema general de Cinemática se trata en otro módulo, aquí nos centraremos en cómo interpretar diferencias, cocientes de variación y representaciones gráficas para describir cambios en cantidades físicas y prácticas. > **Definición:** Una razón de cambio es el cociente entre la variación de una magnitud dependiente y la variación de la magnitud independiente que la provoca; se calcula como $\Delta y/\Delta x$. ## 1. Diferencias y notación $\Delta$ ### 1.1 ¿Qué es $\Delta$? > **Definición:** El símbolo $\Delta$ (delta) indica una diferencia o cambio finito en una variable: $\Delta d = d_{f} - d_{i}$, $\Delta t = t_{f} - t_{i}$. ### 1.2 Ejemplo práctico con instantes Suponga que tiene posiciones medidas en distintos instantes. La diferencia entre la posición en $t=3\,\mathrm{s}$ y en $t=5\,\mathrm{s}$ se escribe como $$\Delta d_{3\to5} = d(5) - d(3).$$ Si $\Delta d_{3\to5}$ resultara negativa, eso significa que la posición final es menor que la inicial en ese intervalo. > **Interpretación de un $\Delta d$ negativo:** $\Delta d < 0$ indica que la variable dependiente (por ejemplo, posición) disminuye en el intervalo considerado; físicamente puede corresponder a desplazamiento en sentido contrario o reducción de la cantidad. ## 2. Cociente $\Delta d/\Delta t$ y su significado ### 2.1 Definición del cociente promedio > **Definición:** El cociente $\dfrac{\Delta d}{\Delta t}$ representa la razón de cambio promedio de la distancia respecto al tiempo en un intervalo; en contexto de movimiento se interpreta como rapidez promedio en ese intervalo. ### 2.2 Ejemplo: intervalo entre $t=2\,\mathrm{s}$ y $t=4\,\mathrm{s}$ Si conoce $d(2)$ y $d(4)$, calcule $$\Delta d = d(4)-d(2)$$ $$\Delta t = 4-2 = 2\,\mathrm{s}$$ y el cociente $$\dfrac{\Delta d}{\Delta t} = \dfrac{d(4)-d(2)}{2}.$$ Este valor es la rapidez (promedio) en $\left[2,4\right]$ segundos. ## 3. Análisis de datos: caída de una piedra (tabla de ejemplo) Tomamos la tabla dada (distancias en cm vs tiempo en s) y analizamos las razones de cambio. Tabla N°2: distancia $d$ (cm) vs tiempo $t$ (s) | $t$ [s] | $d$ [cm] | |---------|----------| | 0.0 | 0 | | 0.1 | 5 | | 0.2 | 20 | | 0.3 | 45 | | 0.4 | 80 | ### 3.1 ¿Es constante la rapidez? Calcule cambios finitos consecutivos y la razón correspondiente: - Intervalo $0.0\to0.1$: $\Delta t=0.1$, $\Delta d=5-0=5$, $v=\dfrac{5}{0.1}=50\,\mathrm{cm/s}$ - Intervalo $0.1\to0.2$: $\Delta t=0.1$, $\Delta d=20-5=15$, $v=\dfrac{15}{0.1}=150\,\mathrm{cm/s}$ - Intervalo $0.2\to0.3$: $\Delta t=0.1$, $\Delta d=45-20=25$, $v=\dfrac{25}{0.1}=250\,\mathrm{cm/s}$ - Intervalo $0.3\to0.4$: $\Delta t=0.1$, $\Delta d=80-45=35$, $v=\dfrac{35}{0.1}=350\,\mathrm{cm/s}$ Los valores de rapidez cambian (50, 150, 250, 350 cm/s), por lo que no es constante; la rapidez aumenta con el tiempo. > **Interpretación:** Un incremento sistemático de $\dfrac{\Delta d}{\Delta t}$ indica aceleración positiva: la velocidad promedio en subintervalos sucesivos crece. ## 4. Representaciones gráficas ### 4.1 Gráfico distancia vs tiempo - En el plano $(t,d)$ trace puntos $(0,0)$, $(0.1,5)$, $(0.2,20)$, $(0.3,45)$, $(0.4,80)$ y una curva que conecte los puntos. - La pendiente secante entre dos puntos $(t_i,d_i)$ y $(t_f,d_f)$ es $$\text{pendiente} = \dfrac{\Delta d}{\Delta t} = \dfrac{d_f-d_i}{t_f-t_i}.$$ ### 4.2 Gráfico rapidez vs tiempo - Prepare un gráfico con el tiempo en el eje horizontal y las razones promedio $v$ en el eje vertical: puntos $\left(0.05,50\right)$, $\left(0.15,150\right)$, $\left(0.25,250\right)$, $\left(0.35,350\right)$ si toma el punto medio del intervalo para representación. ### 4.3 Diferencias entre ambos gráficos y su interpretación - El gráfico $d$ vs $t$ muestra la posición acumulada; su curvatura revela cambios en