Resumen de Cilindros y Conos: Volumen y Área

## Introducción El estudio de los sólidos geométricos como el **cilindro** y el **cono** nos permite calcular medidas importantes como área y volumen, que aparecen en muchas situaciones reales: envases, recipientes, tuberías, conos de tránsito y más. En este material revisaremos definiciones, fórmulas y ejemplos prácticos para entender y aplicar estos conceptos. > **Definición:** Un cuerpo geométrico es una región del espacio delimitada por superficies; ejemplos comunes son el cilindro y el cono. ## Cilindro: estructura y fórmulas ### ¿Qué es un cilindro recto? - Un cilindro recto tiene dos bases circulares congruentes y una superficie lateral perpendicular a las bases. - Parámetros principales: radio de la base $r$ y altura $h$. > **Definición:** Un cilindro recto es el sólido generado por trasladar un círculo a lo largo de una recta perpendicular a su plano. ### Fórmulas importantes - Área de la base: $$A_{b}=\pi r^{2}$$ - Área lateral: $$A_{l}=2\pi r h$$ - Área total: $$A_{t}=A_{l}+2A_{b}=2\pi r h+2\pi r^{2}$$ - Volumen: $$V_{\text{cilindro}}=A_{b}\cdot h=\pi r^{2}h$$ ### Ejemplo práctico (cilindro) 1. Calcular volumen y área total de un cilindro de radio $r=3\,\text{cm}$ y altura $h=4\,\text{cm}$. Volumen: $$V_{\text{cilindro}}=\pi r^{2}h=\pi\cdot 3^{2}\cdot 4=36\pi\,\text{cm}^{3}$$ Área total: $$A_{t}=2\pi r h+2\pi r^{2}=2\pi\cdot 3\cdot 4+2\pi\cdot 3^{2}=24\pi+18\pi=42\pi\,\text{cm}^{2}$$ ## Cono: estructura y relación con el cilindro ### ¿Qué es un cono recto? - Un cono recto tiene una base circular y una vértice (pico) ubicado directamente sobre el centro de la base. - Parámetros principales: radio de la base $r$, altura $h$ y generatriz $g$ (la distancia desde el vértice hasta un punto en el borde de la base). > **Definición:** Un cono recto es el sólido formado al unir todos los puntos de un círculo con un punto fuera de su plano llamado vértice. ### Relación entre cono y cilindro con misma base y altura - Observación experimental: al verter recipientes cónicos idénticos en un cilindro con la misma base y altura, se necesitan exactamente **tres** conos para llenar el cilindro. - Por tanto, si un cilindro y un cono tienen la misma base y la misma altura: $$V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}V_{\text{cilindro}}$$ - Usando la fórmula del cilindro para el volumen del cono: $$V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$ > **Recordatorio:** No se incluye información ampliada sobre el cálculo del volumen de conos, pues ese tema está contemplado en otro material. ### Fórmulas auxiliares (para el cono) - Área de la base: $$A_{b}=\pi r^{2}$$ - Área lateral (superficie curva): $$A_{l}=\pi r g$$, donde $g$ es la generatriz - Área total: $$A_{t}=\pi r^{2}+\pi r g=\pi r\left(r+g\right)$$ ### Ejemplo práctico (relación cono-cilindro) 1. Si el volumen ocupado en un cilindro es $900\,\text{cm}^{3}$ y el cilindro tiene la misma base y altura que un cono, ¿cuál es el volumen del cono? Aplicamos la relación: $$V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}V_{\text{cilindro}}=\frac{1}{3}\cdot 900=300\,\text{cm}^{3}$$ 2. Tabla de ejemplos con distintos $r$ y $h$ mostrando que siempre se cumple la proporción $\dfrac{V_{\text{cono}}}{V_{\text{cilindro}}}=\dfrac{1}{3}$: | Radio (cm) | Altura (cm) | Volumen cilindro (cm$^{3}$) | Volumen cono (cm$^{3}$) | Relación | | --- | ---: | ---: | ---: | ---: | | $3$ | $10$ | $\pi\cdot 3^{2}\cdot 10=90\pi$ | $\dfrac{1}{3}\cdot 90\pi=30\pi$ | $\dfrac{1}{3}$ | | $4$ | $9$ | $\pi\cdot 4^{2}\cdot 9=144\pi$ | $48\pi$ | $\dfrac{1}{3}$ | | $6$ | $7$ | $\pi\cdot 6^{2}\cdot 7=252\pi$ | $84\pi$ | $\dfrac{1}{3}$ | ## Práctica guiada ### Problema 1 Se tiene un cilindro de volumen $75{,}36\,\mathrm{cm}^{3}$. ¿Cuál es el volumen de un cono que tiene la misma área basal y la misma altura que el cilindro? Solución: aplicar la proporción $$V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}V_{\text{cilindro}}=\frac{1}{3}\cdot 75{,}36=25{,}12\,\mathrm{cm}^{3}$$ Si además el radio mide $2\,\mathrm{cm}$, calcular la altura usando $\pi\approx 3{,}14$. D