Resumen de Cálculo de Porcentajes y Regla de Tres

## Introducción En este material aprenderás a resolver problemas que combinan porcentajes y la regla de tres simple directa, usando pasos claros y ejemplos prácticos. Aunque no repetiremos definiciones generales de porcentajes que están tratadas en otro material, sí aplicaremos procedimientos para resolver ejercicios cotidianos y preguntas tipo ICFES. > Definición: La regla de tres simple directa es un método para encontrar un valor desconocido $x$ cuando dos magnitudes son proporcionales. Si $a$ corresponde a $b$ y $c$ corresponde a $x$, entonces $$x = \frac{b \cdot c}{a}$$ ## Conceptos desglosados ### 1) Interpretación de enunciados - Lee cuántas partes tiene la prueba, el total y cuántas respuestas correctas se dieron. Usa fracciones y transforma a porcentaje cuando sea necesario. - Para cambios sucesivos (porcentajes aplicados en pasos), calcula cada paso en orden y conserva unidades. ### 2) Aplicar la regla de tres simple directa - Plantea la proporción: $a \rightarrow b$, $c \rightarrow x$. - Usa la fórmula $$x = \frac{b \cdot c}{a}$$ - Ejemplo rápido: Si 5 preguntas corresponden a $100\%$ de una sección y alguien acierta 4, entonces $$x = \frac{100 \cdot 4}{5} = 80\%$$ ### 3) Porcentajes en pasos (rendimiento y cobro) - Cuando un rendimiento se calcula y luego se aplica un descuento o comisión sobre ese rendimiento, haz las operaciones en el orden indicado. - Ejemplo general: inversión $I$, rendimiento $r$ (como decimal) y comisión $c$ (como decimal). Primero rendimiento: $R = I \cdot r$. Luego comisión: $Com = R \cdot c$. Ganancia final: $G = R - Com = R(1 - c) = I \cdot r \cdot (1 - c)$. > Definición: Para porcentajes sucesivos, convertir a decimales facilita los cálculos. Por ejemplo, $10\% = 0.10$, $25\% = 0.25$. ## Ejemplos resueltos (extraídos del material dado) ### Ejemplo A — Salida de personas en dos horas En un evento, en la 1.ª hora se fue el $50\%$ y en la 2.ª hora se fue el $30\%$ de las personas que estaban al inicio. ¿Qué porcentaje quedó al final? - Si inicialmente hay $100\%$, al irse $50\%$ quedan $50\%$. Si luego se va el $30\%$ del total inicial o del que queda? En este problema se interpreta que ambos porcentajes hacen referencia al total inicial (como indica la solución dada), por lo tanto total ido: $50\% + 30\% = 80\%$. Queda $20\%$. - Aplicación: ¿Cuál opción al restarle $20\%$ da $100$? Si buscas un número tal que $20\%$ de él sea $100$, resuelves $$0.20 \cdot X = 100$$ $$X = \frac{100}{0.20} = 500$$ Por tanto, si la opción A era $500$, entonces es correcta. ### Ejemplo B — Examen de lectura y escritura Tabla: Pedro: lectura 5/5, escritura 5/10. Ana: lectura 1/5, escritura 8/10. - Porcentaje de escritura: Pedro $$\frac{5}{10} \cdot 100 = 50\%$$ Ana $$\frac{8}{10} \cdot 100 = 80\%$$ Respuesta: A. ### Ejemplo C — Inversión con rendimiento y cobro En inversión $I = 5\,000\,000$, rendimiento trimestral $r = 10\% = 0.10$, y la empresa cobra $25\% = 0.25$ del rendimiento. Calcula la ganancia neta. - Paso 1: rendimiento bruto $$R = I \cdot r = 5\,000\,000 \cdot 0.10 = 500\,000$$ - Paso 2: comisión $$Com = R \cdot 0.25 = 500\,000 \cdot 0.25 = 125\,000$$ - Paso 3: ganancia neta $$G = R - Com = 500\,000 - 125\,000 = 375\,000$$ Respuesta: opción D. ## Tabla comparativa: Interpretación en problemas con porcentajes sucesivos | Situación | Orden de cálculo | Fórmula útil | Precaución común | | --- | --- | --- | --- | | Rendimiento y comisión | Primero rendimiento, luego comisión | $G = I \cdot r \cdot (1 - c)$ | No restar porcentajes directos sin calcular montos | | Salida de personas (porcentajes sobre total) | Sumar porcentajes si todos son sobre el total | $Total\;ido = p_1 + p_2 + \dots$ | Verificar si los porcentajes son sobre el total o sobre el remanente | | Parte de un todo (exámenes) | Calcular fracción y multiplicar por 100 | $\frac{aciertos}{total} \cdot 100$ | Asegurar que el denominador corresponde a la sección correcta | ## Pasos prácticos para resolver ejercicios 1. Identifica si los