Resumen de Automatización Industrial con Siemens S7-1500

## Introducción Los sistemas de numeración son conjuntos de reglas y símbolos que permiten representar cantidades. Entenderlos es esencial para el procesamiento y la representación de información en electrónica, programación y sistemas digitales. Este material explica las bases principales, la representación posicional y los métodos de conversión entre los sistemas más usados: decimal, binario, octal y hexadecimal. > **Definición:** Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas para representar cantidades; su base (o radix) es el número de símbolos distintos que utiliza. ## Conceptos fundamentales ### Componentes de un sistema de numeración - **Base (radix):** número de símbolos distintos que el sistema utiliza. Por ejemplo, base 10 significa 10 símbolos. - **Dígitos:** símbolos individuales; su número coincide con la base. - **Posiciones:** cada dígito tiene una posición que corresponde a una potencia de la base. - **Peso posicional:** el valor de un dígito es el dígito multiplicado por la base elevada a la potencia de su posición (empezando desde 0 en la posición menos significativa). > **Definición:** Peso posicional es el valor aportado por un dígito según su posición, calculado como dígito \(\times\) base^{posición}. ### Representación general Un número con dígitos $d_n d_{n-1}\ldots d_1 d_0$ en base $b$ representa: $$\sum_{k=0}^{n} d_k \; b^{k}$$ Ejemplo: el número decimal 345 en base 10 vale $$3\cdot 10^{2} + 4\cdot 10^{1} + 5\cdot 10^{0}$$ ## Sistemas comunes ### 1. Sistema decimal - **Base:** 10 - **Dígitos:** $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ - **Uso:** cotidianamente en mediciones, finanzas y cálculos humanos. ### 2. Sistema binario - **Base:** 2 - **Dígitos:** $0,1$ - **Uso:** representación interna en dispositivos digitales y electrónica. > **Definición:** El sistema binario usa sólo los dígitos $0$ y $1$, donde cada posición representa una potencia de $2$. Ejemplo: el binario $1011$ representa $$1\cdot 2^{3} + 0\cdot 2^{2} + 1\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = 11_{10}$$ ### 3. Sistema octal - **Base:** 8 - **Dígitos:** $0,1,2,3,4,5,6,7$ - **Uso:** menos común pero útil en algunos sistemas embebidos y para abreviar binario en grupos de 3 bits. ### 4. Sistema hexadecimal - **Base:** 16 - **Dígitos:** $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$ - **Uso:** frecuente en programación y electrónica para representar bytes y direcciones de forma compacta. > **Definición:** En hexadecimal, las letras $A$ a $F$ representan los valores $10$ a $15$ respectivamente. ## Métodos de conversión ### Decimal a binario (método de divisiones) 1. Dividir el número decimal por 2. 2. Anotar el residuo ($0$ o $1$). 3. Repetir con el cociente hasta que sea $0$. 4. Leer los residuos en orden inverso. Ejemplo: convertir $13$ a binario: - $13\div 2$ residuo $1$ (cociente $6$) - $6\div 2$ residuo $0$ (cociente $3$) - $3\div 2$ residuo $1$ (cociente $1$) - $1\div 2$ residuo $1$ (cociente $0$) Leyendo residuos al revés: $1101_{2}$. ### Binario a decimal (suma de potencias) Sumar las potencias de $2$ multiplicadas por cada dígito binario. Por ejemplo, $1101_{2}$: $$1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}$$ ### Binario a octal y octal a binario - Para convertir binario a octal, agrupar los dígitos binarios en grupos de tres desde la coma/derecha y convertir cada grupo a un dígito octal. - Para convertir octal a binario, convertir cada dígito octal a su equivalente de 3 bits. Ejemplo: $110101_{2}$ agrupar como $110\;101$ → $6\;5$ → $65_{8}$. ### Binario a hexadecimal y hexadecimal a binario - Agrupar dígitos binarios en grupos de cuatro desde la coma/derecha y convertir cada grupo a su dígito hexadecimal. - Para hexadecimal a binario, convertir cada dígito hexadecimal a su equivalente de 4 bits. Ejemplo: $11110010_{2}$ agrupar $1111\;0010$ → $F\;2$ → $F2_{16}$. ### Decimal a octal/hexadecimal (vía binario) - Convertir decimal a binario, luego agrupar en ternas (octal) o cuaternas (hexadecimal)