Resumen de Aplicaciones de la Integral: Área y Volumen

## Introducción El estudio del área bajo curvas nos permite cuantificar la superficie de una región plana limitada por una o más funciones, el eje $x$ y rectas verticales. Estas técnicas son fundamentales en cálculo integral y tienen aplicaciones en física, economía, probabilidad y otras áreas. > **Definición:** Una región bajo la curva $y = f(x)$ entre $x = a$ y $x = b$ es la región limitada por las gráficas de $y = f(x)$, $x = a$, $x = b$ y $y = 0$. Si $f$ es continua y no negativa en $[a,b]$, su área viene dada por $$A(R) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$$ ## Conceptos básicos desglosados ### 1. Idea geométrica - Divide la región en tiras verticales delgadas de anchura aproximada $\Delta x$. - Cada tira se aproxima por un rectángulo de altura aproximada $f(x)$ y área aproximada $f(x)\Delta x$. - Sumando y tomando el límite cuando $\Delta x \to 0$ se obtiene la integral definida. > **Definición:** La integral definida $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ representa el área neta bajo $f$ desde $a$ hasta $b$, cuando $f$ es continua. ### 2. Pasos para formar la integral (método de las tiras) 1. Localice la región y determine los límites $a$ y $b$. 2. Corte la región en tiras delgadas verticales y elija una tira representativa en $x$. 3. Aproxime el área de la tira por un rectángulo de altura adecuada (por ejemplo, $f(x)$) y base $\Delta x$. 4. Sume las áreas aproximadas: $\sum f(x_i)\Delta x$. 5. Tome el límite: $\lim_{\Delta x\to 0} \sum f(x_i)\Delta x = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$. ### 3. Regiones entre dos curvas Si dos funciones satisfacen $g(x) \le f(x)$ en $[a,b]$, el área de la región entre ellas es $$A = \int_{a}^{b} \left(f(x) - g(x)\right)\,dx$$ - La altura de cada tira es $f(x) - g(x)$. - Esto funciona incluso si una o ambas funciones están por debajo del eje $x$; la diferencia da la altura correcta. > **Definición:** Región entre curvas: la porción del plano limitada por $y = f(x)$ arriba y $y = g(x)$ abajo con $g(x) \le f(x)$ en $[a,b]$. ## Ejemplos prácticos resueltos ### Ejemplo 1: Área bajo $y = x^4 - 2x^3 + 2$ entre $x = -1$ y $x = 2$ Formule la integral: $$A = \int_{-1}^{2} \left(x^4 - 2x^3 + 2\right)\,dx$$ Calcule anti-derivada y evalúe: $$\text{Antiderivada} = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 2x$$ Evalúe en los límites: $$A = \left[\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 2x\right]_{-1}^{2}$$ Sustituya $x=2$ y $x=-1$ y reste para obtener $A$. ### Ejemplo 2: Área bajo $y = 1 + \sqrt{x}$ entre $x = 0$ y $x = 4$ Formule la integral: $$A = \int_{0}^{4} \left(1 + \sqrt{x}\right)\,dx$$ Escriba $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y encuentre la antiderivada: $$\text{Antiderivada} = x + \frac{2}{3}x^{3/2}$$ Evalúe entre $0$ y $4$: $$A = \left[x + \frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{4} = \left(4 + \frac{2}{3}\cdot 8\right) - 0 = 4 + \frac{16}{3} = \frac{28}{3}$$ ### Ejemplo 3: Región entre curvas (parábola y recta) Encuentre el área entre $y^2 = 4x$ y $4x - 3y = 4$. 1. Exprese ambas curvas en función de $y$ o $x$ según convenga. La parábola da $x = \frac{1}{4}y^2$ y la recta da $x = 1 + \frac{3}{4}y$ si despejamos $x$. 2. Determine puntos de intersección resolviendo $\frac{1}{4}y^2 = 1 + \frac{3}{4}y$. 3. Una vez hallados los valores de $y$ de intersección $y_1$, $y_2$, forme la integral en términos de $y$: $$A = \int_{y_1}^{y_2} \left( x_{\text{derecha}} - x_{\text{izquierda}}\right)\,dy$$ 4. Sustituya $x_{\text{derecha}}$ y $x_{\text{izquierda}}$, calcule la antiderivada y evalúe. ## Tabla comparativa: rectángulos verticales vs horizontales | Enfoque | Cortes verticales | Cortes horizontales | |---|---:|---:| | Variable de integración | $x$ | $y$ | | Uso típico | Regiones dadas por $y=f(x)$ entre $x=a$ y $x=b$ | Regiones donde $x=g(y)$ entre $y=c$ y $y=d$ o curvas que se cruzan verticalmente | | Altura/base de la tira | Altura: $f(x)-g(x)$, base: $\Delta x$ | Base: $x_{\text{derecha}}-x_{\text{izquierda}}$, altura: $\Delta y$ | | Cuando preferir | Cuando funciones son fácilmente expresables como $y=f(x)$ | Cuando las curvas son me