Resumen de Aplicaciones de Integrales Múltiples

## Introducción El estudio de los **momentos de inercia** y los **radios de giro** es fundamental para entender cómo se distribuye la masa de un cuerpo respecto de un eje o una recta y cómo esa distribución condiciona la resistencia del cuerpo a cambios en su estado de rotación. En este material aprenderás definiciones, fórmulas, ejemplos resueltos y aplicaciones prácticas, todo planteado para un estudiante que no asiste a clases presenciales. ## Conceptos básicos desglosados ### ¿Qué es el momento de inercia? > **Definición:** El momento de inercia de un sólido respecto a un eje o punto mide la distribución de la masa con respecto a dicho eje o punto; cuantifica la tendencia de un cuerpo a resistir cambios en su rotación. - Para un cuerpo continuo con densidad de volumen $\rho(x,y,z)$ y región $D$, el momento de inercia respecto a un eje se expresa como una integral que pesa la densidad por el cuadrado de la distancia al eje. ### Momentos de inercia respecto a los ejes coordenados > **Definición:** Momentos de inercia (segundos momentos) con respecto a los ejes coordenados. $$I_x=\iiint_D\left(y^2+z^2\right)\rho(x,y,z)\,dV$$ $$I_y=\iiint_D\left(x^2+z^2\right)\rho(x,y,z)\,dV$$ $$I_z=\iiint_D\left(x^2+y^2\right)\rho(x,y,z)\,dV$$ - Interpretación: en $I_x$ cada punto contribuye según su distancia al eje $x$, igual para $I_y$, $I_z$. ### Momento de inercia respecto a una recta general L > **Definición:** Si $r(x,y,z)$ es la distancia desde el punto $(x,y,z)$ hasta la recta $L$, entonces $$I_L=\iiint_D\left(r(x,y,z)\right)^2\rho(x,y,z)\,dV$$ ### Radio de giro (o radio de inercia) > **Definición:** Radio de giro respecto a un eje o recta es la raíz cuadrada del cociente entre el momento de inercia y la masa total $m$ del cuerpo. $$R_x=\sqrt{\dfrac{I_x}{m}}\quad R_y=\sqrt{\dfrac{I_y}{m}}\quad R_0=\sqrt{\dfrac{I_0}{m}}\quad R_L=\sqrt{\dfrac{I_L}{m}}$$ - Interpretación física: $R$ es la distancia equivalente a la que habría que concentrar toda la masa para obtener el mismo momento de inercia. ## Procedimiento general para calcular momentos de inercia 1. Identificar la región $D$ del cuerpo y la densidad $\rho$ (constante si es homogéneo). 2. Determinar la distancia al eje o recta, expresarla en las coordenadas más convenientes (cartesiana, cilíndrica o esférica). 3. Plantear la integral del tipo $\iiint_D r^2\rho\,dV$ o la correspondiente integral de área si es una lámina: $\iint_R d^2\sigma\,\rho(x,y)$. 4. Calcular la masa total $m$ si se requiere el radio de giro: $m=\iiint_D\rho\,dV$ o $m=\iint_R\rho\,dA$. 5. Evaluar la integral y simplificar. ## Tablas comparativas | Concepto | Fórmula | Uso típico | |---|---:|---| | Momento respecto a $x$ | $I_x=\iiint_D\left(y^2+z^2\right)\rho\,dV$ | Rotación alrededor del eje $x$ | | Momento respecto a $y$ | $I_y=\iiint_D\left(x^2+z^2\right)\rho\,dV$ | Rotación alrededor del eje $y$ | | Momento respecto a $z$ | $I_z=\iiint_D\left(x^2+y^2\right)\rho\,dV$ | Rotación alrededor del eje $z$ | | Momento respecto a recta $L$ | $I_L=\iiint_D r^2\rho\,dV$ | Ejes inclinados o desplazados | | Radio de giro | $R=\sqrt{I/m}$ | Comparar distribuciones de masa | ## Ejemplos prácticos ### Ejemplo 1 (lámina plana, momento respecto a $y$) > Enunciado: Determine el momento de inercia respecto del eje $y$ de la región triangular con vértices $A=(1,1)$, $B=(3,1)$ y $C=(3,5)$, con densidad de área $\rho(x,y)=x+y$. 1. Región: la base es la recta $y=1$ desde $x=1$ hasta $x=3$. El lado vertical derecha es $x=3$ desde $y=1$ hasta $y=5$. La hipotenusa va de $A$ a $C$ con ecuación: la recta que pasa por $(1,1)$ y $(3,5)$ tiene pendiente $\dfrac{5-1}{3-1}=2$, entonces su ecuación es $y-1=2(x-1)$, es decir $y=2x-1$. 2. Para integrar, conviene describir la región como $1\le x\le 3$, $1\le y\le 2x-1$. 3. Momento respecto a $y$ para una lámina: $$I_y=\iint_R x^2\rho(x,y)\,dA=\iint_R x^2\left(x+y\right)\,dA$$ 4. Planteamos la integral: $$I_y=\int_{x=1}^{3}\int_{y=1}^{2x-1} x^2\left(x+y\right)\,dy\,dx$$ 5. Eval