Test sobre Álgebra Básica y Polinomios

Pregunta 1: Según la interpretación económica de la división sintética, si el residuo de dividir la función de utilidad $U(x)$ entre $x - 2$ es 32, esto significa que cuando se venden 200 unidades, la empresa obtiene una utilidad de 32 miles de pesos.

A. Ano

B. Ne

Explicación: El material de estudio establece claramente que 'El valor del residuo es: 32. Lo que significa que: U(2) = 32' y 'Cuando la empresa vende 200 unidades, obtiene una utilidad de: 32 miles de pesos'. Esto confirma que el residuo en la división sintética, cuando se evalúa la función en el valor de $x$ correspondiente, representa la utilidad en ese punto.

Pregunta 2: ¿Cuál de los siguientes es un objetivo clave de la división sintética de polinomios, según los materiales de estudio?

A. Aplicar la técnica de división sintética para dividir polinomios de manera eficiente.

B. Interpretar el cociente y el residuo obtenidos en problemas algebraicos y de negocios.

C. Resolver problemas de modelado de ingresos, gastos o cantidades producidas utilizando productos notables.

D. Resolver ejercicios numéricos y problemas contextualizados en economía y administración utilizando división sintética.

Explicación: Los objetivos de la división sintética son: aplicar la técnica para dividir polinomios eficientemente, interpretar el cociente y el residuo en problemas algebraicos y de negocios, y resolver ejercicios numéricos y contextualizados en economía y administración. La opción 2 se refiere a productos notables, que es un objetivo general del álgebra pero no específico de la división sintética.

Pregunta 3: Un polinomio es una expresión algebraica que siempre contiene 4 o más términos semejantes que se están sumando o restando.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según la definición proporcionada, un polinomio son 4 o más términos que se están sumando o restando. Sin embargo, el ejemplo dado ($4x^{3} + 2x^{2} + 3x - 5$) muestra términos que no son semejantes, aunque la definición específica indica 'términos semejantes'. Dada la discrepancia entre la definición escrita y su ejemplo, la afirmación de que 'siempre' son términos semejantes no se sostiene con el ejemplo práctico proporcionado en el material.

Pregunta 4: En el Ejercicio 1, si la empresa vende $x$ unidades de un producto a $1500 cada uno y el costo total es $C(x) = 5x + 300, la expresión simplificada de la ganancia $G(x) es $1495x + 300.

A. Ano

B. Ne

Explicación: Según el Ejercicio 1, el ingreso es $I(x) = 1500x$ y el costo total es $C(x) = 5x + 300. La ganancia se calcula como $G(x) = I(x) - C(x)$. Sustituyendo, $G(x) = 1500x - (5x + 300)$. Al eliminar paréntesis y reducir términos semejantes, $G(x) = 1500x - 5x - 300 = 1495x - 300. Por lo tanto, la expresión simplificada de la ganancia no es $1495x + 300, sino $1495x - 300.

Pregunta 5: Al aplicar la propiedad distributiva para multiplicar la expresión \(\frac{1}{2} x\left(\frac{3}{4} x - \frac{2}{3} y\right)\), ¿cuál es el resultado correcto?

A. \(\frac{3}{8} x^2 - \frac{1}{3} xy\)

B. \(\frac{3}{8} x - \frac{1}{3} y\)

C. \(\frac{3}{4} x^2 - \frac{1}{2} xy\)

D. \(\frac{1}{2} x^2 - \frac{2}{3} xy\)

Explicación: La propiedad distributiva establece que a(b + c) = ab + ac. Aplicándola a \(\frac{1}{2} x\left(\frac{3}{4} x - \frac{2}{3} y\right)\) se tiene: \(\left(\frac{1}{2} x \cdot \frac{3}{4} x\right) - \left(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{3} y\right)\). Multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes de las variables obtenemos: \(\frac{3}{8} x^{1+1} - \frac{2}{6} xy\), que se simplifica a \(\frac{3}{8} x^2 - \frac{1}{3} xy\).