Summary of Work, Energy, and Power

## Introducción La energía mecánica de un objeto es la suma de su **energía cinética** y su **energía potencial gravitatoria**. En muchas situaciones sin rozamiento, la energía se transforma entre estas dos formas manteniendo constante la energía total mecánica. > **Definición:** La energía cinética es la energía asociada al movimiento de un objeto. La energía potencial gravitatoria es la energía almacenada debido a la posición vertical de un objeto en un campo gravitatorio. ## Conceptos fundamentales ### Energía cinética (KE) > **Definición:** La energía cinética de un objeto de masa $m$ que se mueve con rapidez $v$ viene dada por $$\text{KE} = \frac{1}{2} m v^{2}$$ - Unidad: julios (J). - Es una magnitud escalar: sólo importa la rapidez, no la dirección. Ejemplo: un objeto de masa $2\,\mathrm{kg}$ y velocidad $3\,\mathrm{m/s}$ tiene $$\text{KE} = \frac{1}{2} \times 2\,\mathrm{kg} \times (3\,\mathrm{m/s})^{2} = 9\,\mathrm{J}$$ Efecto de duplicar la velocidad: si $v$ se duplica, $\text{KE}$ se multiplica por $4$ porque depende de $v^{2}$. ### Energía potencial gravitatoria (PE) > **Definición:** La energía potencial gravitatoria de un objeto de masa $m$ situado a una altura $h$ sobre una referencia es $$\text{PE} = m g h$$ - $g$ es la aceleración debida a la gravedad; aquí usaremos $g = 10\,\mathrm{N/kg}$ cuando se indique. - Unidad: julios (J). Ejemplo: un objeto de masa $2\,\mathrm{kg}$ a $3\,\mathrm{m}$ con $g=10\,\mathrm{N/kg}$ tiene $$\text{PE} = 2\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{N/kg} \times 3\,\mathrm{m} = 60\,\mathrm{J}$$ ### Conservación de la energía mecánica En ausencia de fuerzas disipativas (rozamiento, resistencia del aire), la pérdida de PE es igual a la ganancia de KE: $$\Delta \text{PE} + \Delta \text{KE} = 0$$ o equivalentemente $$\text{PE}_{i} + \text{KE}_{i} = \text{PE}_{f} + \text{KE}_{f}$$ Esto permite resolver problemas sin usar las ecuaciones del movimiento directamente. ## Descomposición en pasos y ejemplos prácticos ### 1) Cálculo de PE para una masa de $6\,\mathrm{kg}$ - a) A $4\,\mathrm{m}$: $$\text{PE} = m g h = 6\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{N/kg} \times 4\,\mathrm{m} = 240\,\mathrm{J}$$ - b) A $6\,\mathrm{m}$: $$\text{PE} = 6\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{N/kg} \times 6\,\mathrm{m} = 360\,\mathrm{J}$$ ### 2) Energía cinética y efecto de duplicar la velocidad - Masa $6\,\mathrm{kg}$, velocidad $5\,\mathrm{m/s}$: $$\text{KE} = \frac{1}{2} \times 6\,\mathrm{kg} \times (5\,\mathrm{m/s})^{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times 25 = 75\,\mathrm{J}$$ - Si la velocidad se duplica ($v = 10\,\mathrm{m/s}$): $$\text{KE} = \frac{1}{2} \times 6\,\mathrm{kg} \times (10\,\mathrm{m/s})^{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times 100 = 300\,\mathrm{J}$$ (Se observa que la KE se multiplica por 4 al duplicar $v$.) ### 3) Ejemplo con una bola de $0.5\,\mathrm{kg}$ y $100\,\mathrm{J}$ de KE Buscar velocidad: usar $\text{KE} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$ $$100\,\mathrm{J} = \frac{1}{2} \times 0.5\,\mathrm{kg} \times v^{2}$$ Despejar $v$: $$100 = 0.25 \; v^{2}$$ $$v^{2} = 400$$ $$v = 20\,\mathrm{m/s}$$ ### 4) Bola de $0.5\,\mathrm{kg}$ soltada desde un acantilado - Al impactar con rapidez $10\,\mathrm{m/s}$, su KE final es: $$\text{KE} = \frac{1}{2} \times 0.5\,\mathrm{kg} \times (10\,\mathrm{m/s})^{2} = 25\,\mathrm{J}$$ - Si no hay rozamiento, esa KE final proviene de la PE inicial, por tanto la PE antes de soltar era $25\,\mathrm{J}$. - Altura inicial (usar $\text{PE} = m g h$): $$25\,\mathrm{J} = 0.5\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{N/kg} \times h$$ $$h = \frac{25}{5} = 5\,\mathrm{m}$$ ### 5) Piedra de $1\,\mathrm{kg}$ que impacta a $10\,\mathrm{m/s}$ - KE final: $$\text{KE} = \frac{1}{2} \times 1\,\mathrm{kg} \times (10\,\mathrm{m/s})^{2} = 50\,\mathrm{J}$$ - PE inicial = $50\,\mathrm{J}$. - Altura de caída: $$50 = 1 \times 10 \times h$$ $$h = 5\,\mathrm{m}$$ ### Ejemplo resuelto que aparece en los materiales dados Piedra de $4\,\mathrm{kg}$ en cima a $5\,\mathrm{m}$: PE $=200\,\mathrm{J}$. Si toda la PE se convierte