Summary of Statistical Analysis with SPSS: Core Methods

## Introdução A verificação de assunções é etapa essencial em qualquer análise estatística paramétrica: antes de aplicar testes ou modelos que assumem normalidade e homocedasticidade, devemos avaliar se os dados atendem a essas condições. Este material apresenta conceitos, testes empíricos, interpretações práticas e exemplos que ajudam a decidir quando uma assunção é plausível e o que fazer quando ela falha. ## Visão geral das assunções - **Normalidade**: refere-se à distribuição dos resíduos ou das observações; muitos procedimentos paramétricos assumem que eles seguem uma distribuição normal. - **Homocedasticidade** (homogeneidade de variâncias): significa que a variância dos erros ou das observações é constante entre os grupos ou ao longo dos níveis da variável preditora. > Definição: Normalidade é a suposição de que uma variável ou os resíduos de um modelo seguem a distribuição normal com média $mu$ e varie2ncia $sigma^2$. > Definição: Homocedasticidade indica que $\operatorname{Var}(\varepsilon_i)=\sigma^2$ para todo $i$, ou seja, as variâncias dos erros sao iguais entre todos os grupos/condie7os observacionais. ### Por que essas assunções importam? - Estimativas pontuais podem continuar consistentes sem normalidade, mas **inferência** (intervalos de confiança, testes) depende fortemente das distribuições assumidas. - Violação de homocedasticidade pode levar a erros nos testes de significância (valores p incorretos) e intervalos de confiança mal calibrados. ## Testes e procedimentos para normalidade Abaixo estão testes formais e métodos empíricos comumente usados para avaliar normalidade de amostras ou resíduos. ### Testes formais (EDF, momentos e regressão/correlação) - **Shapiro-Wilk (SW)**: muito poderoso para detectar desvios de normalidade em amostras pequenas a moderadas. Estadístico $W$ varia entre $0$ e $1$. Valores baixos indicam não-normalidade. - Fórmula (conceito): $$W = \frac{\left(\sum_{i=1}^n a_i y_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}$$ - Uso prático: recomendado como primeira opção para $n\leq 2000$. - **Kolmogorov-Smirnov (KS)**: compara a função de distribuição empírica $F_n(x)$ com a distribuição teórica $F^*(x)$; estatístico $$T = \sup_x |F^*(x)-F_n(x)|$$ - Observação: exige parâmetros totalmente especificados; quando parâmetros são estimados a partir da amostra, os valores críticos clássicos não são válidos. - **Lilliefors (LF)**: variante do KS para o caso em que média e variância são estimadas na amostra. Estatístico similar ao KS: $$D = \max_x |F^*(x)-S_n(x)|$$ onde $F^*(x)$ usa $\bar{x}$ e $s^2$ amostrais. - **Anderson-Darling (AD)**: pertence à classe quadrática de estatísticos EDF e dá maior peso às caudas. Forma prática do estatístico: $$W_n^2 = -n - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2i-1)\left[ \log F^*(x_{(i)}) + \log\left(1-F^*(x_{(n+1-i)})\right)\right]$$ - Modificação de ajuste ao tamanho amostral: $$W_n = W_n^2\left(1+\frac{0.75}{n}+\frac{2.25}{n^2}\right)$$ (forma aproximada de ajuste) - **Testes baseados em momentos**: checam assimetria (skewness) e achatamento (kurtosis). Exemplos: D'Agostino-Pearson e Jarque-Bera. Jarque-Bera: $$\mathrm{JB}=n\left(\frac{g_1^2}{6}+\frac{(g_2-3)^2}{24}\right)$$ onde $g_1$ é a assimetria amostral e $g_2$ a curtose amostral. > Definição: Estatístico EDF refere-se a testes que comparam a distribuição empírica $F_n(x)$ com $F^*(x)$ por alguma medida de discrepância (supremo, integral do quadrado etc.). ### Métodos gráficos - **Histogramas**, **Q-Q plot** (quantil-quantil) e **boxplots** são essenciais; Q-Q plot facilita ver desvios em caudas, assimetria e outliers. Did you know que o teste de Shapiro-Wilk frequentemente detecta desvios de normalidade com maior potência do que KS e LF para tamanhos de amostra pequenos a moderados? ### Interpretação prática dos testes de normalidade - Sempre combine métodos gráficos com testes formais. Um p-valor ligeiramente abaixo de 0.05 em amostra grande pode ser resultado de pequena, por