Zusammenfassung von Korrelation und Wahrscheinlichkeitstheorie

## Einführung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung quantifiziert die Sicherheit des Eintretens von Ereignissen bei Zufallsexperimenten. Sie bildet die Grundlage für viele Bereiche der Statistik, stochastische Modellierung und Entscheidungsfindung unter Unsicherheit. > **Definition:** Zufallsexperiment: Ein nach Vorschrift durchgeführter Vorgang, dessen Ergebnis vom Zufall abhängt und der beliebig oft wiederholbar ist. ## Grundbegriffe ### Ereignisraum und Elementarereignis - **Ereignisraum** $S$ ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments, z.B. $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ beim Würfeln. - **Elementarereignis** $e_i$ ist ein einzelnes Ergebnis, z.B. $e_1=1$. > **Definition:** Ereignis: Jede Teilmenge $A\subset S$; ein Ereignis tritt ein, wenn eines der zugehörigen Elementarereignisse eintritt. Beispiele: - Einmaliger Münzwurf: $S=\{W,Z\}$ - Zweimaliger Münzwurf: $S=\{WW,WZ,ZW,ZZ\}$ ### Mengenoperationen (mit Venn-Anschaung) - Vereinigung: $A\cup B$ (mindestens eines der Ereignisse tritt ein) - Schnitt: $A\cap B$ (beide Ereignisse treten ein) - Komplement: $\overline{A}$ (A tritt nicht ein) - Differenz: $A\setminus B$ (A tritt ein, B nicht) Tabelle: Vergleich verwandter Begriffe | Begriff | Bedeutung | Beispiel | |---|---:|---| | $A\cup B$ | Vereinigung | "gerade Zahl oder Primzahl beim Würfeln" | | $A\cap B$ | Schnitt | "gerade und größer als 2" | | $\overline{A}$ | Komplement | "keine gerade Zahl" | | $A\setminus B$ | Differenz | "gerade, aber nicht 6" | Fun fact: Wusstest du, dass der Begriff "Wahrscheinlichkeit" historisch stark mit Glücksspielproblemen verbunden ist und sich viele frühe Resultate aus der Analyse von Würfeln und Karten ableiten lassen? ## Wahrscheinlichkeitsbegriffe ### Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Laplace) Unter der Annahme, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind: $$W(A)=\frac{|A|}{|S|}$$ Beispiel: Bei einem fairen Würfel ist $W(\{2,4,6\})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. ### Axiomatische Definition (Kolmogorov) Ein Wahrscheinlichkeitsmaß $W$ auf dem Ereignisraum $S$ erfüllt: 1. $0\le W(A)\le 1$ für alle $A\subset S$. 2. $W(S)=1$. 3. Für zwei disjunkte Ereignisse $A,B$ gilt $W(A\cup B)=W(A)+W(B)$. Folgerungen: - $W(\varnothing)=0$. - Für ein Ereignis $A$ gilt $W(A)+W(\overline{A})=1$. - Für paarweise disjunkte $A_i$ gilt $W\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right)=\sum_{i=1}^{n} W(A_i)$. ## Rechenregeln ### Additionssatz Für beliebige Ereignisse $A,B$ gilt: $$W(A\cup B)=W(A)+W(B)-W(A\cap B)$$ Bei disjunkten Ereignissen reduziert sich das zu $W(A\cup B)=W(A)+W(B)$. ### Multiplikationssatz und bedingte Wahrscheinlichkeit Die bedingte Wahrscheinlichkeit von $B$ gegeben $A$ ist definiert als: $$W(B\mid A)=\frac{W(A\cap B)}{W(A)}$$ unter der Voraussetzung $W(A)>0$. Aus dem folgt der Multiplikationssatz: $$W(A\cap B)=W(A)\cdot W(B\mid A)=W(B)\cdot W(A\mid B)$$ Beispiel (ohne Zurücklegen): In einer Schachtel sind 6 Glühbirnen, davon 2 defekt. Ziehen ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Birne nicht defekt ist, gegeben dass die erste nicht defekt war. - Ereignis $A$: erste Birne nicht defekt. - Ereignis $B$: zweite Birne nicht defekt. - $W(B\mid A)=\dfrac{|A\cap B|}{|A|}=\dfrac{12}{20}=0{,}6$ (Rechnung mit Laplace-Ansatz auf der Ergebnismenge der geordneten Paare). ### Stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind unabhängig, wenn $$W(A\cap B)=W(A)\cdot W(B).$$ Äquivalent ist $W(A\mid B)=W(A)$ (sofern $W(B)>0$). Beispiel: Zwei faire Münzwürfe. $A$ = erster Wurf ist Zahl, $B$ = zweiter Wurf ist Wappen. Dann ist $W(A)=\tfrac{1}{2}$, $W(B)=\tfrac{1}{2}$ und $W(A\cap B)=\tfrac{1}{4}=W(A)\cdot W(B)$. Fun fact: Wusstest du, dass Unabhängigkeit paarweise und totale Unabhängigkeit unterscheidet; Ereignisse können paarweise unabhängig, aber nicht gemeinsam unabhängig sein, was in komplexeren Zufallssystemen wichtig ist? ## Praktische Anwendungen - Risikoabschätzung in Versicherungen (Ereigniswahrscheinlichkeiten von Schäden) - Monte-Carlo-