Shrnutí na Zpracování signálů a diagnostika

## Úvod V tomto materiálu se seznámíte se zpracováním signálů ve frekvenční a časofrekvenční oblasti. Cílem je pochopit, jak Fourierova transformace a její varianty odhalují spektrální složení signálů, jak zacházet s nestacionárními daty a jak vybrat vhodné metody analýzy pro diagnostiku a zpracování signálů. > **Definice:** Fourierova transformace převádí signál z časové oblasti do frekvenční oblasti a ukazuje, jaká je rozložení amplitudy a fáze v závislosti na frekvenci. ## Základy Fourierovy transformace a DFT ### Princip - Diskrétní Fourierova transformace (DFT) převádí konečný vzorek diskrétního signálu do diskrétního spektra. - Vzorkováním spojitého signálu s periodou $T_x$ (vzorkovací frekvence $f_x = 1/T_x$) dostaneme vzorky $x[kT_x]$ a pro $N$ vzorků platí $$X\left[\frac{n}{N T_x}\right] = T_x \sum_{k=0}^{N-1} x\left[kT_x\right] e^{-\frac{2\pi k n}{N}},\quad n=0,1,\dots,N-1$$ - Krok frekvenční osy je $\Delta f = f_x / N = 1 / (N T_x)$. > **Definice:** Inverzní DFT obnoví signál z jeho spektra podle vztahu $$x[n] = \frac{1}{N T_x} \sum_{k=0}^{N-1} X\left[\frac{k}{N T_x}\right] e^{\frac{2\pi k n}{N}},\quad n=0,1,\dots,N-1$$ ### Pozor na aliasing a periodicitu - DFT předpokládá periodický signál. Pokud signál není periodický, projevuje se únik ve spektru (spectral leakage). - Spektrum je periodické s periodou $f_s = f_x$, tj. $X(f) = X(f - f_s)$. Proto se častěji používá jednostranné spektrum pro $f\in[0, f_s/2]$. ## Okénkování a potlačení úniku - Únik ve spektru způsobí, že energie se nerozdělí pouze do přesné frekvence, ale rozprostře se do okolí. - Okénkové funkce (např. Hanning, Hamming) snižují únik tím, že zjemní přechody na koncích okna. > **Definice:** Hanningovo okénko je příklad funkce, která vynásobí krátký úsek signálu a tím změní jeho okrajové hodnoty pro lepší frekvenční vlastnosti. ## Jednostranné a oboustranné spektrum - Oboustranné spektrum zobrazuje kladné i záporné frekvence. Pro reálné signály jsou záporné frekvence zrcadlem kladných. - Jednostranné spektrum zobrazuje pouze $f\ge 0$ až $f_s/2$ a je v praxi přehlednější. ## Praktický příklad DFT - Příklad: diskrétní signál s frekvencí 1 Hz, vzorkování $f_x=20\,\mathrm{Hz}$ (tj. $T_x=0.05\,\mathrm{s}$), $N=60$ vzorků (0–2.95 s). - Krok spektra $\Delta f = f_x / N = 20/60 = 1/3\,\mathrm{Hz}$. - Spektrum má maxima na 1 Hz a také na frekvencích odpovídajících symetrii spektra (např. 19 Hz odpovídá komponentě u $-1\,\mathrm{Hz}$ díky periodicitě DFT). ## Limity Fourierovy analýzy - Fourierova transformace vyžaduje lineární a stacionární systém a konstantní parametry signálu. - U nelineárních nebo nestacionárních signálů výsledné spektrum představuje průměrnou informaci, která může zakrýt krátkodobé události (pulzy). > **Definice:** Únik ve spektru (spectral leakage) je rozložení energie spektrální složky do sousedních frekvencí v důsledku omezené délky signálu nebo nevhodného okna. ## Časo-frekvenční zpracování (nestacionární signály) Když parametry signálu mění v čase, Fourierova analýza celé délky signálu nemusí stačit. Použijeme časofrekvenční metody pro sledování vývoje spektra v čase. ### Krátkodobá Fourierova transformace (STFT) - STFT počítá Fourierovu transformaci z krátkých překrývajících se úseků signálu. $$X(t,\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(\tau - t) e^{-j\omega\tau} d\tau$$ - Okénková funkce $h(t)$ určuje délku úseku. Předpokládáme, že krátký úsek je (přibližně) stacionární. - Amplitudové spektrum lze normalizovat korekčním faktorem $$A(t,\omega) = 2 \frac{\left| X(t,\omega) \right|}{\frac{1}{T_w} \int_{0}^{T_w} h(\tau) d\tau}$$ - Délka okna ovlivní rozlišení: delší okno = lepší rozlišení ve frekvenci, kratší okno = lepší rozlišení v čase. Je to kompromis v souladu s Heisenberg-Gaborovým principem $$\sigma_t \sigma_f \ge \frac{1}{2}$$ - Grafické zobrazení: kaskádový graf (waterfall) a spektrogram (barevné zobrazení energie v časo-frekvenční rovině). ### Praktická doporučení pro STFT - Volte délku okna podle pož