Shrnutí na Základy termodynamiky

## Úvod Tato učební pomůcka shrnuje základní pojmy kolem **tepelných kapacit** a s nimi souvisejících veličin. Materiál je zaměřen na pochopení vztahů, jednotek a praktických výpočtů používaných při běžných úlohách (např. tání ledu, směšování kapalin). Nepokrývá témata, která jsou uvedena jinde, jako jsou Termodynamika, Teplota, Přenos tepla nebo Vnitřní energie. ## Základní pojmy ### Co je molární tepelná kapacita > **Molární tepelná kapacita**: Tepelná kapacita připadající na jednotku látkového množství. Molární tepelná kapacita vyjadřuje, kolik tepla $Q$ musíme dodat látce o látkovém množství $n$, aby se její teplota změnila o $\Delta T$: $$ C_{mol} = \frac{Q}{n \Delta T} $$ Jednotka: $\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}$. > **Poznámka**: Jednotka látkového množství je $1\,\mathrm{mol}$. Jeden mol obsahuje Avogadrovu konstantu částic: $N_{A} = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}$. ### Měrné skupenské teplo > **Měrné skupenské teplo**: Množství tepla, které je třeba dodat 1 kg látky, aby došlo ke změně skupenství při konstantní teplotě. Pro změnu skupenství platí vztah: $$ Q = L m $$ kde $L$ je měrné skupenské teplo (např. tání nebo vypařování) a $m$ je hmotnost. Jednotka: $\mathrm{J\cdot kg^{-1}}$. Praktické příklady měrných skupenských tepel: - Měrné skupenské teplo tání ledu: $L_{t\acute{a}n\i} = 333\ \mathrm{kJ/kg}$. - Měrné skupenské teplo vypařování vody je mnohem větší (řád $10^{6}\ \mathrm{J/kg}$). ### Kalorimetrická rovnice (výměna tepla v izolovaném systému) Dvě tělesa A a B tvoří izolovaný systém. Předpokládejme, že $T_A > T_B$. Po uvedení do kontaktu vznikne rovnovážná teplota $T$, kde $T_A > T > T_B$. V izolovaném systému se teplo, které ztratí teplejší těleso A, rovná teplu přijatému tělesem B: $$ - Q_A = Q_B $$ Pokud uvažujeme pouze změny teplot (bez změny skupenství): $$ - m_A c_A \left(T - T_A\right) = m_B c_B \left(T - T_B\right) $$ Odtud lze vyjádřit výslednou rovnovážnou teplotu $T$ řešením rovnice. ## Postup řešení praktických úloh (krok za krokem) 1. Určete, zda dochází ke změně skupenství. Pokud ano, použijte $Q = L m$ pro část procesu. 2. Pro fázové i teplotní změny sečtěte všechny části tepla, které látka přijme nebo odevzdá (pozor na znaménka). 3. Použijte kalorimetrickou rovnici v izolovaném systému: součet všech $Q$ musí být nula. 4. Vyřešte rovnici na neznámou (např. konečnou teplotu nebo zmrzlou hmotnost). ### Příklad 1 — Kolik vody zůstane nezmrzlé? Zadané: voda 260 g při $0\,^{\circ}\mathrm{C}$, odebíráme teplo $50{,}2\ \mathrm{kJ}$, $L_{t\acute{a}n\i} = 333\ \mathrm{kJ/kg}$. Cílem: kolik vody zůstane nezmrzlé. Postup: odebírané teplo způsobí ztuhnutí části vody. Potřebné teplo k zatuhnutí hmotnosti $m$ je $Q = L m$. Vyjádříme $m$: $$ m = \frac{Q}{L} $$ Dosadíme $Q = 50{,}2\ \mathrm{kJ} = 50{,}200\ \mathrm{J}$ a $L = 333\ \mathrm{kJ/kg} = 333{,}000\ \mathrm{J/kg}$: $$ m = \frac{50{,}200}{333{,}000} \approx 0{,}1507\ \mathrm{kg} = 150{,}7\ \mathrm{g} $$ Ze 260 g vody zmrzne přibližně 150,7 g, takže nezmrzne $$ 260\ \mathrm{g} - 150{,}7\ \mathrm{g} \approx 109{\,}\mathrm{g}. $$ ### Příklad 2 — Kostka ledu v teplé vodě Zadané: $m_{voda}=200\ \mathrm{g}$ při $25\,^{\circ}\mathrm{C}$, led $m_{led}=50\ \mathrm{g}$ při $-15\,^{\circ}\mathrm{C}$. Parametry: $L_{t\acute{a}n\i}=333\ \mathrm{kJ/kg}$, $c_{voda}=4190\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$, $c_{led}=2220\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$. Cíl: výsledná teplota směsi. Procesy, které nastanou u ledu: - ohřátí ledu z $-15\,^{\circ}\mathrm{C}$ na $0\,^{\circ}\mathrm{C}$, - tání ledu při $0\,^{\circ}\mathrm{C}$ (pokud je k dispozici dost tepla), - případné ohřátí vzniklé vody z tání nad $0\,^{\circ}\mathrm{C}$. Pořadí výpočtu: 1. Vypočtěte teplo potřebné k ohřátí ledu na $0\,^{\circ}\mathrm{C}$: $Q_1 = m_{led} c_{led} \Delta T$. 2. Teplo potřebné k roztopení ledu: $Q_2 = m_{led} L$. 3. Pokud zbude teplo z původní vody, použije se na ohřátí vzniklé vody a případně zvýšení výsledné teploty. Pokud ne, výsledná teplo