Shrnutí na Základy kartografie a mapových projekcí

## Úvod Kartografie a geodézie se zabývají popisem polohy bodů na Zemi, vyjádřením jejich souřadnic a výpočty vzdáleností a směrů na referenční ploše (kouli). Tento materiál shrnuje základní souřadnicové systémy, geodetické křivky a základní výpočty na kouli pro samostudium. > **Definice:** Zeměpisné souřadnice vyjadřují polohu bodu vztaženou k rovníku a poledníkům pomocí zeměpisné šířky a délky. ## Základní souřadnicové systémy ### Zeměpisné souřadnice - **Zeměpisná šířka** $\varphi$ je úhel mezi rovinou rovníku a normálou vedenou bodem na povrchu Země. Rozsah: $0^\circ$ (rovník) až $\pm90^\circ$ (póly). - **Zeměpisná délka** $\lambda$ je úhel mezi rovinou místního poledníku a rovinou základního poledníku. Rozsah: $0^\circ$ až $180^\circ$ na východ nebo západ. > **Definice:** Pólová vzdálenost $\psi$ lze vyjádřit jako $\psi = 90^\circ - \varphi$ a udává úhlovou vzdálenost od pólu. ### Kulové souřadnice - **Kulová šířka** $U$ je úhel mezi rovinou rovníku a normálou v daném bodě (analogie ke $\varphi$). - **Kulová délka** $V$ je úhel mezi základním poledníkem a místním poledníkem (analogie ke $\lambda$). > **Poznámka:** Rozsahy zůstávají $U:\;0^\circ-90^\circ$, $V:\;0^\circ-180^\circ$ podle definice orientace. ### Pravoúhlé sférické souřadnice - Hlavní kružnice prochází bodem 0 (střed zobrazení) a místní poledník je na ni kolmý. - Používají se při konstrukcích a transformacích souřadnic. ### Kartografické souřadnice - Kartografická šířka **Š** a délka **D** jsou lokální transformace kulových souřadnic na zobrazovací plochu; vyjadřují úhly vůči kartografickému rovníku a kartografickým poledníkům. > **Definice:** Kartografická šířka Š je úhel mezi normálou v bodě a rovinou kartografického rovníku. Kartografická délka D je úhel mezi místním kartografickým poledníkem a základním kartografickým poledníkem. ## Porovnání souřadnicových systémů | Systém | Šířka | Délka | Hlavní použití | |---|---:|---:|---| | Zeměpisné ($\varphi,\lambda$) | Úhel normály k rovníku | Úhel mezi poledníky | Globální navigace, mapy | | Kulové ($U,V$) | Analogie k $\varphi$ | Analogie k $\lambda$ | Výpočty na kouli | | Kartografické (Š,D) | Lokální transformace | Lokální transformace | Přechod ke zobrazení | ## Geodetické křivky ### Azimut > **Definice:** Azimut je úhel mezi severní větví místního poledníku a směrem k druhému bodu. - Azimut je základní veličina pro směr pohybu a navigaci. ### Ortodroma (geodetická křivka) > **Definice:** Ortodroma je nejkratší spojnice dvou bodů na referenční kouli; leží na hlavní kružnici. - Použití: námořní a letecká navigace pro určení nejkratší trasy. - Vlastnosti: při generování na mapě se obvykle zobrazí jako křivka (ne přímka v mapových zobrazeních). ### Loxodroma > **Definice:** Loxodroma je křivka, která na referenční ploše protíná poledníky pod stále stejným azimutem. - Vlastnosti: není nejkratší spojnicí, má tvar logaritmické spirály na nekonečné délce při přiblížení k pólům. - Použití: jednodušší vedení konstantního kursu v navigaci. Did you know že loxodroma na mapě Mercatorova zobrazení vypadá jako přímka, což usnadnilo historickou navigaci? ## Výpočty na kouli — základní případy Nechť $R$ je poloměr referenční koule. 1) Body na poledníku - Spojnice na poledníku má azimut $A_{1-2}=0^\circ$ (směrem na sever) a $A_{2-1}=180^\circ$. - Rozdíl kulových šířek $\Delta U = U_2 - U_1$. - Úhlová vzdálenost: $\text{arc}\Delta U = \dfrac{s_{1-2}}{R}$. - Délka oblouku: $$s_{1-2} = R \cdot \Delta U^\circ$$ 2) Body na rovníku - Azimuty: $A_{4-5}=270^\circ$, $A_{5-4}=90^\circ$. - Délka oblouku: $$s_{4-5} = R \cdot \Delta V^\circ$$ 3) Body na rovnoběžce šířky $U$ - Poloměr rovnoběžky: $$r = R \cdot \cos U$$ - Délka mezi dvěma body se stejnou šířkou: $$s_{1-2} = r \cdot \Delta V^\circ = R \cdot \cos U \cdot \Delta V^\circ$$ - Azimuty obvykle $A_{1-2}=90^\circ$, $A_{2-1}=270^\circ$ pokud jde o východ-západní směr. 4) Body na ortodromě (obecný případ) - Nechť $\Delta V = V_2 - V_1$. - Úhel mezi poloměry (centr