Shrnutí na Základy geografie, kartografie a prostorových statistik

## Úvod Statistika pomáhá shrnout, popsat a vyvozovat závěry z dat. Tento materiál tě provede základními pojmy popisné statistiky, teoretickými rozděleními, odhady parametrů, testováním hypotéz, korelační a regresní analýzou a analýzou rozptylu. Obsah je sestaven tak, aby byl srozumitelný i pro samouka. > Definice: Statistika je soubor metod pro sběr, popis a analýzu dat s cílem pochopit vlastnosti základního souboru pomocí výběrového souboru. ## 1. Popisná statistika — měření polohy a variability ### Základní měřítka polohy - **Aritmetický průměr**: průměr hodnot, vhodný pro kardinální data. Příklad: průměrná teplota vzduchu za týden. - **Medián**: prostřední hodnota ve vzestupném pořadí; odolný vůči odlehlým hodnotám. - **Kvartily a kvantily**: rozdělují data na části (např. kvartily dělí na čtvrtiny). > Definice: Medián je hodnota, která dělí vzestupně seřazená data na dvě stejně početné části. ### Charakteristiky variability - **Rozsah (variační rozpět́ı)**: rozdíl maxima a minima. - **Mezikvartilové rozpětí (IQR)**: rozdíl horního a dolního kvartilu; vyčteme z krabicového grafu. - **Rozptyl**: průměr čtverců odchylek od průměru; vhodný pro kardinální data. - **Směrodatná odchylka**: odmocnina z rozptylu; udává průměrnou odchylku od průměru. - **Variační koeficient**: relativní míra variability, vhodná pro porovnání datasetů (v %). > Definice: Směrodatná odchylka je odmocnina rozptylu a je to absolutní míra variability dat. ### Specifické míry pro kategorie - **Nominální varianta** (0 až 1): měří variabilitu u nominálních proměnných; využívá relativní četnosti $p_i$ a počet kategorií $k$. - **Ordinální varianta** (0 až 1): obdobně pro ordinální proměnné. Tabulka: porovnání charakteristik variability | Metrika | Typ proměnné | Citlivost na odlehlé hodnoty | Použití | |---------|--------------|-------------------------------|---------| | Rozsah | kard./ordin. | vysoká | rychlá orientace | | IQR | kard./ordin. | nízká | robustní popis rozložení | | Rozptyl / SD | kardinální | střední | matematické modely | | Variační koef. | kardinální | relativní | porovnání mezi soubory | Did you know že mezikvartilové rozpětí není ovlivněné extrémními hodnotami a proto se často používá při vizualizaci pomocí krabicového (boxplot) grafu? ## 2. Teoretická rozdělení četností ### Náhodná veličina - Spojitá: může nabýt libovolné hodnoty v intervalu (např. teplota). - Nespojitá: pouze některé hodnoty (např. počet srážkových období). > Definice: Teoretické rozdělení udává pravděpodobnost, s jakou náhodná veličina nabývá určitých hodnot. ### Normální (Gaussovo) rozdělení - Nejčastější spojité rozdělení, zvonovitý tvar. - Parametry: střední hodnota $\mu$ a směrodatná odchylka $\sigma$. - Pravidlo šesti sigma: téměř všechny hodnoty leží v intervalu $$\mu - 3\sigma \;\text{až}\; \mu + 3\sigma$$ - Normalizované normální rozdělení: $\mu = 0$, $\sigma = 1$; přechod na $z$-skóre pro stanovení pravděpodobností. ### Další rozdělení - **Studentovo $t$-rozdělení**: používá se, když je $\sigma$ neznámé a vzorek malý. - **Chi-kvadrát ($\chi^2$)**: pro testy závislosti a odhady rozptylu. - **Binomické rozdělení**: pro diskrétní pokusy s výsledky úspěch/neúspěch. Fun fact: Normální rozdělení se objevuje v přírodě a technice často díky centrální limitní větě, která říká, že součet mnoha nezávislých náhodných vlivů má přibližně normální rozdělení. ## 3. Výběr a odhady parametrů ### Výběrový soubor - Práce se základním souborem je často nepraktická; proto používáme výběr. - Pokud je výběr náhodný, lze z něj odhadovat vlastnosti populace. - Pravidlo: pro $n > 30$ lze většinou použít aproximaci normálním rozdělením; pro $n < 30$ volte opatrně (např. $t$-rozdělení). ### Typy odhadů - **Bodový odhad**: jediné číslo (např. průměr výběru jako odhad populace). - **Intervalový odhad**: interval, v němž se parametr s pravděpodobností $1-\alpha$ nachází (např. 95\% interval). > Definice: Interval spolehlivosti je rozmezí, ve kterém se s určitou pravděpodob