# Základy ekonometrie > Ekonometrie je věda, která na základě znalostí ekonomie, matematiky a statistiky kvantifikuje vztahy mezi ekonomickými veličinami a vytváří modely pro prognózu jejich vývoje. ## Úvod Tento materiál shrnuje základní pojmy a postupy potřebné pro samostatné studium ekonometrie. Cílem je pochopit, jak postavit jednoduchý ekonometrický model, jak odhadovat parametry, jak je testovat a jak získat prognózy. Materiál neobsahuje podrobné modely ekonometrie, mikroekonomii ani teorii výroby, které jsou probírány jinde. ## 1. Co je ekonometrie a odkud čerpá poznatky ### Definice > Ekonometrie kvantifikuje ekonomické vztahy a používá matematiku a statistiku k odhadu modelů, které lze použít k vysvětlení a prognóze ekonomických proměnných. Ekonometrie využívá poznatky z: - **Ekonomie**: smysl, interpretace a ekonomická verifikace odhadů. - **Matematika**: práce s maticemi, derivace, výpočet pružností. - **Statistika**: odhad parametrů, testování hypotéz, měření kvality modelu. Věnujte zvláštní pozornost tomu, co z každé disciplíny používáme: ekonomie pro interpretaci, matematika pro formální aparát a statistika pro testování a inferenci. ## 2. Kroky konstrukce ekonometrického modelu 1. Studium ekonomické teorie a dokumentů. 2. Sestavení ekonomického modelu (slovní popis vazeb). 3. Převod do ekonometrického tvaru (specifikace rovnic). 4. Sběr dat. 5. Odhad parametrů (např. metoda nejmenších čtverců). 6. Ekonomická verifikace (směr a velikost efektů). 7. Statistická verifikace (testy, diagnostika). 8. Aplikace modelu nebo jeho přepracování. ## 3. Odhad a vlastnosti BMNČ (běžná metoda nejmenších čtverců) ### Geometrická interpretace (stručně) - Vektor pozorovaných hodnot $\mathbf{y}$ a predikovaných hodnot $\hat{\mathbf{y}}$ mají stejný součet složek. - Reziduální vektor $\mathbf{u}$ má nulový součet složek: $\sum u_i = 0$. - $\mathbf{u}$ je kolmý na všechny sloupce matice explanátorů $\mathbf{X}$. - $\mathbf{u}$ a $\hat{\mathbf{y}}$ jsou navzájem kolmé. ### Výpočet odhadů a rozptylů Postup testování významnosti parametrů pomocí t-testu (zkráceně): 1. Spočítat testovací matici $\left(\mathbf{X}^T\mathbf{X}\right)^{-1}$. 2. Spočítat korigovaný reziduální rozptyl $\bar{S}_u^2$. 3. Rozptyly odhadnutých parametrů jsou prvky na diagonále kovarianční matice $$\mathbf{S} = \bar{S}_u^2 \left(\mathbf{X}^T\mathbf{X}\right)^{-1}$$ 4. Standardní chyby: $S_{b_i} = \sqrt{S_{ii}}$. 5. Testovací statistika: $t = \dfrac{|\hat{\gamma}_i|}{S_{b_i}}$. 6. Porovnání s kritickou hodnotou Studentova rozdělení nebo použití p-hodnoty. > Kovariační matice parametrů je $\bar{S}_u^2 \left(\mathbf{X}^T\mathbf{X}\right)^{-1}$ a její diagonální prvky jsou rozptyly odhadů. ## 4. Testování hypotéz a interpretace výsledků ### t-test a F-test - **t-test** testuje významnost jednotlivých parametrů: H0: parametr = 0. - **F-test** testuje významnost modelu jako celku (např. zda všechny regresní koeficienty kromě konstanty jsou nulové). Použití p-hodnoty: - Pokud p < $\alpha$ (např. $0{.}05$), zamítáme H0. - V diagnostických testech (Breusch-Pagan, Breusch-Godfrey, aj.) obvykle chceme p > $\alpha$, aby nebyl porušen předpoklad. ### Interval spolehlivosti > Interval spolehlivosti (např. 95%) je interval, ve kterém se očekává skutečná hodnota parametru při opakovaných výběrech s danou pravděpodobností. Pro parametr $\hat{\gamma}_i$: $$\text{IS} = \left(\hat{\gamma}_i - t_{\alpha} S_{b_i} \; , \; \hat{\gamma}_i + t_{\alpha} S_{b_i}\right)$$ Pokud interval obsahuje nulu, parametr není statisticky významný. ## 5. Kvalita modelu: $R^2$ a korigované $\bar{R}^2$ - Koeficient determinace $R^2$ udává, jaký podíl variability vysvětlované proměnné je vysvětlen modelem: $$R^2 = 1 - \dfrac{\text{RSS}}{\text{TSS}}$$ - Korigované $\bar{R}^2$ penalizuje za přidání irelevantních proměnných a je užitečné při porovnávání modelů se různým počtem proměnných. Tabulka: srovnání $R^2$ a $\bar{R}^2$ | Metrika | Co hodnotí | Jak se mění po přidání irel