# Vektory a jejich souřadnice Vítejte ve světě vektorů! V každodenním životě se setkáváme s mnoha typy veličin. Některé, jako je teplota, hmotnost nebo čas, jsou popsány jediným číslem a říkáme jim **skaláry**. Avšak existují i veličiny, které potřebují k úplnému popsání nejen číselnou hodnotu, ale i směr. Představte si například sílu, kterou tlačíte na vozík – záleží nejen na tom, jak moc tlačíte, ale i jakým směrem. Tyto veličiny se nazývají **vektory**. Studium vektorů je klíčové v mnoha oblastech, od fyziky a inženýrství po informatiku a počítačovou grafiku. Pomáhají nám modelovat pohyb, síly, pole a mnoho dalších jevů, které mají směr. ## Orientovaná úsečka jako reprezentace vektoru Nejintuitivnější způsob, jak si vektor představit, je pomocí **orientované úsečky**. > **Orientovaná úsečka** je úsečka, u které je jasně určen její **počáteční bod** a **koncový bod**. Značíme ji například $\vec{AB}$, kde $A$ je počáteční bod a $B$ je koncový bod. Šipka nad označením úsečky ($\vec{}$) naznačuje směr od $A$ k $B$. Každá orientovaná úsečka je jednoznačně popsána třemi základními vlastnostmi: * **Délka (velikost):** Toto je vzdálenost mezi počátečním a koncovým bodem. Značí se $|\vec{AB}|$. * **Směr:** Směr je dán přímkou, na které úsečka leží. * **Orientace:** Orientace určuje, který z bodů je počáteční a který koncový (například od $A$ k $B$, nikoli od $B$ k $A$). Did you know, že zatímco orientovaná úsečka má pevně daný počáteční a koncový bod, samotný **vektor** je abstraktnější pojem? Vektor je definován jako množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou délku, stejný směr a stejnou orientaci. To znamená, že pokud orientovanou úsečku posuneme v prostoru, aniž bychom změnili její délku nebo orientaci, stále reprezentuje tentýž vektor. Takové vektory se nazývají **volné vektory**. V matematice a fyzice se nejčastěji pracuje s volnými vektory, které nemají pevně daný počáteční bod. Pro zjednodušení si však často představujeme vektor s počátkem v počátku souřadnicové soustavy. Vektory se obvykle značí malými písmeny s šipkou nad nimi, například $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$, nebo tučně, např. **u**, **v**, **a**. ## Souřadnice vektoru Pro praktickou práci s vektory, ať už v rovině, nebo v prostoru, potřebujeme umět je číselně popsat. K tomu slouží **souřadnice vektoru**. > **Souřadnice vektoru** udávají jeho složky vzhledem k osám souřadnicové soustavy (např. $x$, $y$, $z$). ### Výpočet souřadnic v rovině Pokud máme v rovině dva body $A = [A_x, A_y]$ a $B = [B_x, B_y]$, pak souřadnice vektoru $\vec{u} = \vec{AB}$, který vede z bodu $A$ do bodu $B$, vypočítáme jako rozdíl souřadnic koncového a počátečního bodu: $$\vec{u} = (B_x - A_x, B_y - A_y)$$ Často se souřadnice vektoru zapisují jako $\vec{u} = (u_1, u_2)$, kde $u_1 = B_x - A_x$ a $u_2 = B_y - A_y$. **Příklad v rovině:** Mějme body $A = [1, 2]$ a $B = [5, 4]$. Souřadnice vektoru $\vec{AB}$ jsou: $$\vec{AB} = (5 - 1, 4 - 2) = (4, 2)$$ ### Výpočet souřadnic v prostoru Podobně v trojrozměrném prostoru, pokud máme body $A = [A_x, A_y, A_z]$ a $B = [B_x, B_y, B_z]$, pak souřadnice vektoru $\vec{u} = \vec{AB}$ jsou: $$\vec{u} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)$$ Zde se souřadnice vektoru zapisují jako $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$, kde $u_1 = B_x - A_x$, $u_2 = B_y - A_y$ a $u_3 = B_z - A_z$. **Příklad v prostoru:** Mějme body $A = [1, 2, 3]$ a $B = [4, -1, 5]$. Souřadnice vektoru $\vec{AB}$ jsou: $$\vec{AB} = (4 - 1, -1 - 2, 5 - 3) = (3, -3, 2)$$ ## Velikost vektoru Další důležitou vlastností vektoru je jeho velikost. > **Velikost (neboli modul nebo délka) vektoru** je skalární hodnota, která udává délku orientované úsečky, která vektor reprezentuje. Značí se $|\vec{u}|$. ### Velikost vektoru v rovině Pokud známe souřadnice vektoru $\vec{u} = (u_1, u_2)$, pak jeho velikost v rovině vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: $$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$$ **Příklad v rovině:** Pro vektor $\vec{u} = (4, 2)$ z předchozího příkladu je jeh