Shrnutí na Teorie zemního tlaku a jeho výpočet

## Úvod Zemní tlak je soubor sil a napětí, které působí v zemině a na tělesa v kontaktu se zeminou, například na opěrné zdi, pažící konstrukce nebo základové konstrukce. Tento materiál vysvětluje základní typy zemního tlaku, jejich fyzikální podstatu, základní teorie a ukázkové výpočty vhodné pro samostudium. > Definice: Zemní tlak je vodorovná nebo šikmá složka napětí v zemině působící na konstrukce v kontaktu se zeminou. ## Základní rozdělení zemních tlaků - **Zemní tlak v klidu ($\sigma_{h,0}'$)**: platí při nulovém relativním pohybu mezi zeminou a konstrukcí. Poměr horizontálního a vertikálního efektivního napětí je $K_0$. - **Aktivní zemní tlak ($\sigma_{h,a}'$)**: nastává při odtlačení zdi od zeminy (pohyb směrem od zeminy) až do plastické rovnováhy; poměr je $K_a$. - **Pasivní zemní tlak ($\sigma_{h,p}'$)**: nastává při vtlačení zdi do zeminy (pohyb směrem do zeminy) až do plastické rovnováhy; poměr je $K_p$. > Poznámka: Vztahy mezi horizontálním a vertikálním efektivním napětím jsou $\sigma_h' = K\,\sigma_v'$, kde $K$ je příslušný součinitel ($K_0$, $K_a$, $K_p$). ## Jak se mění zemní tlak s posunem stěny - Při malé deformaci: zemina zůstává v klidu ($K_0$). - Při dostatečném posunu směrem od zeminy vzniká stav aktivního tlaku ($K_a$). - Při dostatečném posunu směrem do zeminy vzniká stav pasivního tlaku ($K_p$). > Věděli jste, že hrubozrnné zeminy obvykle dosáhnou aktivního stavu při menším relativním posunu než jemnozrnné zeminy? ## Určení $K_0$ (zemní tlak v klidu) - Empirické: $K_0 = 1 - \sin\varphi'$ pro normálně konsolidované nesoudržné zeminy. - Pro překonsolidované zeminy lze použít korekce s OCR. ### Příklad výpočtu $K_0$ - Zemina: $\varphi' = 33^\circ$, $\gamma = 20\ \mathrm{kN/m^3}$, výška stěny $h=10\ \mathrm{m}$. - $K_0 = 1 - \sin 33^\circ = 0{,}455$. - Vertikální efektivní napětí u paty: $\sigma_v' = \gamma h = 20\cdot10 = 200\ \mathrm{kPa}$. - Horizontální v klidu: $\sigma_{h,0}' = K_0\sigma_v' = 0{,}455\cdot200 = 91\ \mathrm{kPa}$. - Resultující síla na stěnu (trojúhelníkové rozložení): $S_0 = \tfrac{1}{2}\,\sigma_{h,0}'\,h = 0{,}5\cdot91\cdot10 = 455\ \mathrm{kN/m}$. ## Teorie aktivního a pasivního zemního tlaku Níže jsou tři často používané teorie: Rankine, Coulomb a upravené přístupy (Bell, Caquot-Karisel). Volba závisí na geometrii, soudržnosti zeminy a tření na styku stěna–zemina. ### Rankinova teorie (Rankine, 1857) Předpoklady: homogenní zemina, $c'=0$, hladký a svislý rub stěny ($\delta=0$, $\alpha=0$), povrch vodorovný ($\beta=0$), dostatečný pohyb stěny. - Aktivní součinitel: $K_a = \tan^2\left(45^\circ - \tfrac{\varphi'}{2}\right)$. - Pasivní součinitel: $K_p = \tan^2\left(45^\circ + \tfrac{\varphi'}{2}\right)$. Příklad (stejné parametry $\varphi'=33^\circ$, $\gamma=20$): - $K_a = \tan^2\left(45^\circ - \tfrac{33^\circ}{2}\right) = 0{,}295$. - $\sigma_{h,a}'$ u paty: $0{,}295\cdot200 = 59\ \mathrm{kPa}$. - Celková síla: $S_a = \tfrac{1}{2}\cdot59\cdot10 = 295\ \mathrm{kN/m}$. ### Coulombova teorie (1776) Vhodná pro situace s nenulovým třením na rozhraní stěna–zemina ($\delta\neq0$) a pro šikmý rub ($\alpha\neq0$) nebo svah za zdí ($\beta\neq0$). Dává obecnější výraz pro $K_a$ a $K_p$. Základní tvar pro odvodněné podmínky (bez soudržnosti): $$K_a = \frac{\sin^2\left(\alpha+\tfrac{\varphi'}{2}\right)}{\sin^2\alpha\,\left(1+\sin\varphi' + \sin\delta\sin\varphi' - \sin\beta\sin\alpha - \sin\delta\sin\alpha + \sin\beta\right)}$$ Poznámka: Ve výuce se často používá zjednodušený a numericky vyhodnocovaný tvar. Coulombova metoda vyžaduje optimalizaci úhlu smykové plochy. ### Úpravy pro soudržné zeminy (Bell) a pro zakřivené smykové plochy (Caquot-Karisel) - Bell rozpracovává vliv soudržnosti $c'$ a definuje hloubku $h_{ca}$, do které soudržnost ovlivní rozdělení tlaku. - Caquot-Karisel používají logaritmickou spirálu pro přesnější tvar smykové plochy u passivních případů. ## Odvodněné vs. neodvodněné podmínky - Odvodněné (efektivní napětí): pracujeme s $\varphi'$, $c'$, $\sigma