Test na Smíšený součin a objem rovnoběžnostěnu

Otázka 1: Absolutní hodnota smíšeného součinu tří vektorů v trojrozměrném prostoru představuje objem rovnoběžnostěnu, který je určen těmito třemi vektory jako svými hranami vycházejícími z jednoho vrcholu.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Absolutní hodnota smíšeného součinu tří vektorů a, b a c má přímý geometrický význam, neboť představuje objem rovnoběžnostěnu, který je určen těmito třemi vektory jako svými hranami vycházejícími z jednoho vrcholu. Objem V se vypočítá jako V = |(a × b)·c|.

Otázka 2: Je smíšený součin lineární pouze ve svém prvním argumentu?

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Smíšený součin je lineární v každém ze svých argumentů, nejen v prvním.

Otázka 3: Předpokládejme, že smíšený součin tří vektorů a, b, c, tedy (a × b)·c, má nenulovou hodnotu. Jak se změní hodnota tohoto smíšeného součinu, pokud necyklicky zaměníme pořadí prvních dvou vektorů na (b × a)·c?

A. Zůstane stejná.

B. Změní se na opačné znaménko.

C. Stane se nulovou.

D. Změní se na její absolutní hodnotu.

Vysvětlení: Při necyklické záměně dvou vektorů se smíšený součin změní na opačné znaménko. Materiál uvádí, že (a × b)·c = - (b × a)·c, což znamená, že záměna vektorů a a b změní znaménko celého výrazu. To souvisí s orientací báze, kterou vektory tvoří.

Otázka 4: Proč je nutné vzít absolutní hodnotu smíšeného součinu tří vektorů pro získání objemu rovnoběžnostěnu?

A. Protože determinant matice musí být vždy kladný.

B. Protože objem rovnoběžnostěnu nemůže být záporný.

C. Protože smíšený součin představuje pouze směr objemu, nikoli jeho velikost.

D. Aby se zohlednila cyklická záměna vektorů.

Vysvětlení: Studijní materiály jasně uvádí: 'Protože objem nemůže být záporný, je nutné vzít absolutní hodnotu smíšeného součinu pro získání objemu V. Tedy V = |(a × b)·c|.'

Otázka 5: Tři vektory a, b a c jsou komplanární právě tehdy, když je jejich smíšený součin roven nule.

A. Ano

B. Ne

Vysvětlení: Smíšený součin je roven nule, pokud jsou všechny tři vektory komplanární (leží v jedné rovině). Geometricky to znamená, že rovnoběžnostěn určený těmito vektory má nulový objem, což nastane pouze tehdy, když jsou vektory komplanární.